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Diferencia entre revisiones de «Función multiplicativa»

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En [[teoría de números]], una [[función aritmética]] f(''n'') (es decir, definida para ''n'' [[número entero|entero]]) se llama '''multiplicativa''' si ''f''(1) = 1 y además cumple que ''f''(''m''·''n'') = ''f''(''m'')·''f''(''n'') cuando ''m'' y ''n'' son números enteros [[coprimo]]s (no tienen factores comunes). De esta manera, una función multiplicativa queda determinada si se conoce el valor que toma para las potencias de [[número primo|números primos]].
 
La función <math> \phi</math> de Euler se llama '''función multiplicativa''', puesto que <math>(c,d) = 1 \longrightarrow \phi(c,d) = \phi(c)\cdot \phi(cd) </math>. Existen varias funciones en la teoría de los números que poseen esta propiedad. <ref>Burton W. Jones ''Teoría de los números'' Editorial F. Trillas, S.A. Ciudad de México 1969</ref>
 
Entre las funciones multiplicativas están las funciones '''completamente multiplicativas''' que son las que también cumplen que ''f''(''m''·''n'') = ''f''(''m'')·''f''(''n'') cuando ''m'' y ''n'' no son coprimos entre sí.
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* Si representamos por r<sub>2</sub>(''n'') a la [[función suma de cuadrados]], que cuenta la cantidad de distintas parejas de enteros ''(a,b)'' tales que ''n''=''a''²+''b''², entonces la función r<sub>2</sub>(''n'')/4 es una función multiplicativa.
* Es multiplicativa la función que se obtiene como [[producto de Dirichlet]] de dos funciones multiplicativas.
==Proposiciones==
; Primera
si <math> f(n)</math>es una función multiplicativa y
{{ecuacion| <math>
F(n) =
\sum_{d|n} f(d),
</math>}} entonces <math> F(n)</math> es una función multiplicativa.<ref>Jones, obra citada</ref>
 
;Segunda
{{ecuacion| <math>
\sum_{d|n} \phi(d) = n
</math>}}, donde <math>\phi(k)</math> es la función <math> \phi</math> de Euler.
 
==Referencias==
{{listaref}}
 
== Véase también ==
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