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En [[matemáticas]] y [[lógica]], un '''bicondicional''', (también llamado '''equivalencia''' o '''doble implicación''', en ocasiones abreviado en español como '''ssi'''), es un operador lógico binario, es decir, una función <math>\leftrightarrow : B \times B \rightarrow B </math>, siendo B cualquier conjunto con |B|=2, aunque es común que se considere a B como B={V,F} o B={0,1}. El bicondional también funge como conector lógico, permitiendo formular expresiones de la forma «P si y solo si Q», que es verdadera en el caso de que ambos componentes tengan el mismo valor de verdad. En otras palabras, que si P ocurre entonces también ocurre Q; y viceversa: si Q ocurre entonces también ocurre P.
Otra forma de expresar el bicondicional es decir que Q es una '''condición necesaria y suficiente''' para P. También se conoce con el nombre de '''coimplicación'''.<ref>D. Hilbert y A. Ackermann «Elementos de lógica teórica» Editorial Tecnos, Madrid, ISBN 84-309-0581-2</ref> ▼
En [[Lógica]] es usual la notación <math>P \leftrightarrow Q</math>, mientras que en [[matemáticas]] es más común la notación <math>P \iff Q</math> para denotar la equivalencia entre dos enunciados; aunque cabe destacar que <math>\leftrightarrow</math> no significa lo mismo que <math>\iff</math>, ya que el primero es un operador o conector lógico, que permite combinar dos proposiciones mas simples, mientras que el segundo indica una relación de equivalencia lógica entre dos proposiciones. Es común que se usen indistintamente ambas notaciones, mas no significan lo mismo.
Ejemplos:
* «<math> 2 < 10 \leftrightarrow 5|20 </math> » y «<math>5 > 9 \leftrightarrow \sqrt{17} < \sqrt[3]{6}</math> » son bicondicionales verdaderos. ▼* <math>c=\text{mcm}(a,b) \iff c\mathbb{Z}=a\mathbb{Z} \ \cap \ b\mathbb{Z}</math> , donde <math>n\mathbb{Z}</math> denota a los múltiplos enteros de n. ▼
== Definición ==
== Representación y lectura ==
Normalmente se usan los símbolos ⇔ o ↔ para denotar el bicondicional, quedando así:
▲OtraUna forma de expresar el bicondicional es decir que Q es una '''condición necesaria y suficiente''' para P. También se conoce con el nombre de '''coimplicación'''.<ref>D. Hilbert y A. Ackermann «Elementos de lógica teórica» Editorial Tecnos, Madrid, ISBN 84-309-0581-2</ref>
{{ecuación| <math>P\leftrightarrow Q</math> o <math>P \Leftrightarrow Q</math>.}}
En [[idioma español|español]] se usan las abreviaturas '''sii''', '''ssi''' y '''syss''', de modo que es equivalente ''p ↔ q'' a “''p'' sii ''q''”. En [[idioma inglés|inglés]] se abrevia '''iff''' ('''If and only if''').
DosEn [[Lógica]] es usual la notación <math> \leftrightarrow </math>, mientras que en [[matemáticas]] es más común la notación <math> \iff </math> para denotar la equivalencia entre dos enunciados; seaunque dicencabe destacar que ambas notaciones no son ''equivalentes'', cuandoya tienenque el mismoprimero valores un operador o conector lógico, que permite combinar dos proposiciones mas simples para generar una proposición compuesta de verdadla forma <math>P \leftrightarrow Q</math>, ymientras seque simbolizael consegundo indica una relación de equivalencia lógica entre dos proposiciones. El símbolo <math> \iff </math> es equivalente a ≡, por lo que este ultimo también se utiliza para denotar la equivalencia lógica entre dos proposiciones.<ref>Copi, Irving M.: "Lógica Simbólica" (2000) ISBN 968-26-0134-7, Cecsa. México D.F., décima novena reimpresión p. 45</ref> Este símbolo también puede leerse "es equivalente a". Cuando dos proposiciones son ''lógicamente equivalentes'' su conexión con un bicondicional es llamada ''[[tautología]]''.<ref>Russell, Bertrand y Whitehead, Alfred North : ''Principia Mathematica (Hasta el *56)'' (1981) Paraninfo S. A., Madrid, p.60</ref>
Adicionalmente, en el ambito de la logica digital, el funcionamiento del operador bicondicional espuede equivalenteemularse amediante la puerta lógica [[Puerta lógica#Puerta equivalencia (XNOR)|XNOR]], y a la negación de la puerta [[Puerta lógica#Puerta OR-exclusiva (XOR)|XOR]].
== Ejemplos ==
▲* «<math> 2 < 10 \leftrightarrow 5|20 </math> » y «<math>5 > 9 \leftrightarrow \sqrt{17} < \sqrt[3]{6}</math> » son bicondicionales verdaderos.
▲* <math>c=\text{mcm}(a,b) \iff c\mathbb{Z}=a\mathbb{Z} \ \cap \ b\mathbb{Z}</math> , donde <math>n\mathbb{Z}</math> denota a los múltiplos enteros de n.
Es esencial distinguir entre las relaciones bicondicionales y las que son meramente condicionales.
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