Diferencia entre revisiones de «Problema del servilletero»
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Línea 26:
: <math> \sqrt{R^2 - \left(\frac{h}{2}\right)^2},\qquad\qquad(1) </math>
y el radio de la sección transversal horizontal de la esfera a la altura ''y'',, sobre el "ecuador" de la esfera es
: <math> \sqrt{R^2 - y^2}.\qquad\qquad(2) </math>
La [[Sección (geometría)|sección transversal]] de la banda con el plano a la altura ''y'',, es la región en forma de anillo (vista desde arriba) que queda situada dentro del círculo más grande de radio dado por (2) y fuera del círculo más pequeño de radio dado por (1). El área de la sección transversal es, por lo tanto, el área del círculo más grande, menos el área del círculo más pequeño:
: <math>
Línea 39:
</math>
El radio ''R'' no aparece en la última cantidad. Por lo tanto, el área de la sección transversal horizontal de altura ''y'',, no depende de ''R'', siempre que ''y''≤{{sfrac|''h''|2}}≤''
: <math> \int_{-h/2}^{h/2} (\text{area of cross-section at height }y) \, dy, </math>
que no depende de ''R''.
Esta es una aplicación del [[principio de Cavalieri]]: los volúmenes con secciones transversales correspondientes de igual tamaño son iguales. De hecho, el área de la sección transversal es la misma que la correspondiente a la sección transversal de una esfera de radio ''h''/2, que tiene volumen
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