Diferencia entre revisiones de «Número de Bell»
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Línea 79:
Los números de Bell satisfacen la siguiente fórmula recursiva:
:<math>B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}{{n \choose k}B_k}
Puede explicarse observando que, a partir de una partición arbitraria de n + 1 elementos, la eliminación del conjunto que contiene el primer elemento deja una partición de un conjunto menor de k elementos para algún número k que puede ir de 0 a n. Hay <math>\bigl( \begin{smallmatrix} n \\ k \end{smallmatrix} \bigr)</math> opciones para los k elementos que quedan después de que se elimine un conjunto, y Bk opciones de cómo dividirlos.
Línea 85:
Una fórmula de suma diferente representa cada número de Bell como una suma de '''números de Stirling del segundo tipo'''.
<math>B_n=\sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}
El número de Stirling <math>\left\{{n\atop k}\right\}</math> es el número de formas de dividir un conjunto de cardinalidad n en exactamente k subconjuntos no vacíos. Por lo tanto, en la ecuación que relaciona los números de Bell con los números de Stirling, cada partición contada en el lado izquierdo de la ecuación se cuenta exactamente en uno de los términos de la suma en el lado derecho, aquel para el cual k es el número de juegos en la partición.
Línea 96:
La '''función de generación exponencial''' de los números de Bell es
<math>B(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}
En esta fórmula, la suma en el medio es la forma general utilizada para definir la función de generación exponencial para cualquier secuencia de números, y la fórmula de la derecha es el resultado de realizar la sumatoria en el caso específico de los números de Bell.
Una forma de derivar este resultado es la '''combinatoria analítica''', un estilo de razonamiento matemático en el que los conjuntos de objetos matemáticos se describen mediante fórmulas que explican su construcción a partir de objetos más simples, y luego esas fórmulas se manipulan para derivar las propiedades combinatorias de los objetos. En el lenguaje de la combinatoria analítica, una partición establecida puede describirse como un conjunto de urnas no vacías en la que los elementos etiquetados de 1 a n se han distribuido, y la '''clase combinatoria''' de todas las particiones (para todos los n) puede expresarse mediante la notación
Línea 108:
Una aplicación de la [[Fórmula integral de Cauchy]] a la función exponencial, genera la representación de la integral compleja
<math> B_n = \frac{n!}{2 \pi i e} \int_{\gamma} \frac{e^{e^z}}{z^{n+1}} \, dz
Alguna representaciones asintóticas, pueden derivarse por la aplicación estándar del [[Método del gradiente conjugado|método del descenso más pronunciado, también conocido como método Gradiente.]]
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