Diferencia entre revisiones de «Radio de convergencia»
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Línea 2:
<math>
\frac{1
</math>
Línea 16:
La función <math> 1/(1-x) </math> en su desarrollo con centro 0, o sea, en [[series de potencias]] <math>x-x_0=x-0=x</math>, tiene el siguiente aspecto:
<math>\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+
(Para el cálculo de la serie vea [[serie de Taylor]]). Su radio de convergencia es '''<math>r=1</math>'''. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al <math>x_0=0</math> es menor que <math>r=1</math>, por ejemplo el <math>x=0.25</math>, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho
<math>\sum_{n=0}^\infty 0.25^n=1+0.25+0.25^2+0.25^3+
(La cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado
Línea 27:
Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el <math>x=2</math>, al remplazarlo en la serie, ésta será divergente (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:
<math>\sum_{n=0}^\infty 2^n=1+2+2^2+2^3+
=== Distancia a la singularidad ===
El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función <math> 1/(1-x) </math> en su desarrollo con centro <math> x_0=3 </math> tiene la forma:
<math>\frac{1}{1-x}=-\frac{1}{2}+\frac{x-3}{4}-\frac{(x-3)^2}{8}+\frac{(x-3)^3}{16}-
Pero en este caso su radio de convergencia es '''<math>r=2</math>'''.
Notemos que la función <math> 1/(1-x) </math> tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: <math> |0-1|=1 </math> y <math> |3-1|=2 </math>. Esto será siempre verdadero para ésta función, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:
<math>\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2}+\frac{(x-1)^2}{4}-\frac{(x-1)^4}{8}+\frac{(x-1)^5}{8}-
Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito, sin embargo su radio de convergencia es '''<math>r=\sqrt{2}/2</math>'''. Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo, existe una singularidad en el denominador.
Línea 44:
=== Radio de convergencia infinito ===
Por ejemplo, la [[función exponencial]] <math>e^{x}</math> puede desarrollarse en series de potencia de <math>x-0=x</math>, de hecho
<math>e^{x}=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n
y esto vale para todo real <math>x</math> por eso el radio de convergencia será infinito.
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