Esto se puede escribir en términos de límites de la siguiente manera; si ''x''<sub>0</sub> es punto del dominio de la función que es punto de acumulación del mismo, entonces ''f'' es continua en ''x''<sub>0</sub> si y sólo si <math>\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) </math>.Cuando ''x''<sub>0</sub> es un punto del dominio que no es de acumulación del mismo, es decir, es punto aislado del dominio, se cumple trivialmente la definición, luego toda función es continua en los puntos aislados de su dominio. Por ejemplo, las sucesiones de números reales son un caso de función real de variable real cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Como todos los puntos del dominio de una sucesión son puntos aislados del mismo, se concluye que toda sucesión es una función continua. Por otro lado, no tiene sentido hablar de si una función es o no continua en un punto que no pertenezca al dominio de la misma. Por ejemplo, a función f(x)=1/x es continua en todos los puntos de su dominio. En cero, como no está en el dominio, la función es discontinua.
