Diferencia entre revisiones de «Teorema fundamental de la aritmética»
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En [[matemática]], y particularmente en la [[teoría de números]], el '''teorema fundamental de la Aritmética''' o '''teorema de factorización única''' afirma que todo [[número entero|entero]] [[número positivo|positivo]] mayor que 1 es un [[número primo]] o bien un único [[producto (multiplicación)|producto]] de
: <math> 6936 = 2^3 \cdot 3 \cdot 17^2
No existe ninguna otra factorización de 6936 y 1200 en términos de números primos. Como la multiplicación es [[conmutatividad|conmutativa]], el orden de los factores es irrelevante; por esta razón, usualmente se enuncia el teorema como factorización única [[salvo]] en el orden de los factores.▼
▲: <math> 1200 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 \, </math>
▲No existe ninguna otra factorización de 6936 y 1200 en números primos. Como la multiplicación es [[conmutatividad|conmutativa]], el orden de los factores es irrelevante; por esta razón, usualmente se enuncia el teorema como factorización única [[salvo]] en el orden de los factores.
== Aplicaciones ==
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</math>
donde {{
Esta representación se llama '''representación canónica'''<ref>{{harvtxt|Long|1972|p=45}}</ref> de ''n'', o '''forma estándar'''<ref>{{harvtxt|Pettofrezzo|Byrkit|1970|p=55}}</ref><ref>Hardy & Wright § 1.2</ref> de ''n''.
:Por ejemplo, 999 = 3<sup>3</sup>×37, 1000 = 2<sup>3</sup>×5<sup>3</sup>, 1001 = 7×11×13
Nótese que los factores ''p''<sup>0</sup> = 1 pueden ser insertados sin cambiar el valor de ''n'' (p.
:<math>
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Otra prueba de la unicidad de las factorizaciones en primos de un entero dado utiliza el método del [[descenso infinito]].
Supóngase que cierto número entero se puede escribir como producto de factores primos de (al menos) dos maneras distintas. Entonces, debe existir un mínimo entero ''s'' con esa propiedad. Sean ''p''<sub>1</sub>·
:<math>{q_1\over p_1} = d+{r\over p_1}</math>
y 0 < ''r'' < ''p''<sub>1</sub> < ''q''<sub>1</sub> (''r'' no puede ser 0, puesto que en tal caso ''q''<sub>1</sub> sería un múltiplo de ''p''<sub>1</sub> y por lo tanto [[número compuesto|compuesto]]). Al multiplicar ambos lados por ''s'' / ''q''<sub>1</sub>, resulta
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