Diferencia entre revisiones de «Propiedades de los números enteros»
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{{otros usos|este=las propiedades algebraicas avanzadas de los números enteros|Número entero|una exposición básica}}
El [[conjunto]] de los '''[[números enteros]]''', provisto de las operaciones de [[adición]] y [[multiplicación]] forman lo que en [[álgebra|álgebra abstracta]] se conoce como una estructura algebraica de [[anillo (matemáticas)|anillo]].{{sfn|Lang|2002|p=86}} El conjunto de los números enteros se representa mediante la letra <math>\mathbb{Z}</math> (que proviene del [[Idioma alemán|alemán]] ''Zahl'', «número» o «cantidad»). Los enteros están totalmente [[Relación de orden|ordenados]], y es posible definir varias nociones de [[distancia]] entre dos enteros cualesquiera, siendo la más usual igual al [[valor absoluto]] de su [[Resta|diferencia]].
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formada de izquierda a derecha por los naturales, los enteros, los racionales, los [[Número real|reales]] y los [[Número complejo|complejos]].
Otro conjunto de interés que extiende los enteros son los [[Entero gaussiano|enteros gaussianos]], denotado <math>\Z[i]</math>: combinaciones lineales de la forma ''m + in'', donde ''m'' y ''n'' son enteros, e ''i'' es el número imaginario <math>\sqrt{-1}</math>.{{sfn|Gamboa|Ruiz|2002|p=21|ps=La inclusión de ''Z'' en ''Z[i]'' proviene de considerar los enteros gaussianos de la forma ''m + 0i'', para cada entero ''m''.}} Estos, así como los [[Entero cuadrático|enteros cuadráticos]] son subconjuntos del anillo de los [[Número entero algebraico|enteros algebraicos]].
Existen [[infinito]]s números enteros. Aunque a simple vista hay más números enteros que [[Número natural|naturales]], en realidad es posible poner ambos conjuntos en [[Biyección|correspondencia biyectiva]], lo que significa que ambos conjuntos tienen la misma [[cardinalidad]]. Se denomina a este cardinal <math>\aleph_0</math>, y es el menor cardinal infinito. Es el cardinal de los [[Conjunto numerable|conjuntos numerables]], en particular <math>\Z</math> es numerable.{{sfn|Smith|Eggen|St. Andre|2011|p=243|ps=Véanse los teoremas 5.2.1 y 5.2.2}}<ref>Trejo: "El concepto de número"</ref>
La correspondencia puede expresarse por medio de una [[Sucesión matemática|sucesión]] que contenga todos los enteros, por ejemplo{{sfn|Munkres|2007|p=50}}
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::<math>a + b' = a' + b, \ </math> y <math>\ c + d' = c' + d</math>,
luego
::<math>\begin{align} {[(a',
& = [(a + c, b + d)] \\
& = [(a,b)] + [(c, d)], \end{align}</math>
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La [[multiplicación]] (<math>\cdot</math>) sobre <math>\mathbb{Z}</math> se define como sigue:
::<math>
teniendo previamente definida la multiplicación sobre <math>\mathbb{N}</math>. La definición anterior también está bien definida
{{Demostración|
<!--si
::<math>[(a,b)] = [(a', b')], \ </math> y <math>\ [(c,d)] = [(c', d')]</math>,
entonces
::<math>a + b' = a' + b, \ </math> y <math>\ c + d' = c' + d</math>,
luego
::<math>\begin{align} {[(a', b')] \cdot [(c', d')] } & = [(a'c'+ b'd', a'd'+b'c')] \\
& = [(ac + bd, ad + bc)] \\
& = [(a,b)] \cdot [(c, d)], \end{align}</math>
ya que
::<math>(ad + bc + a'c' + b'd') = (ac + b'c' + a'd' + bd)
-->
::<math>(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)</math>.
}}
=== El orden de los enteros ===
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Los [[automorfismo]]s de <math>\Z</math> deben aplicar generadores en generadores, por lo que las únicas imágenes posibles para la unidad son ''1'' y ''-1''. En consecuencia, el grupo de automorfismos de <math>\Z</math> contiene dos elementos, y es isomorfo al grupo cíclico ''C<sub>2</sub>''. El holomorfo de <math>\Z</math> es por tanto el [[producto semidirecto]]:
::<math>Hol(\Z) = \Z \rtimes C_2</math>.
Al grupo abstracto <math>\Z \rtimes C_2</math> se le conoce como el [[grupo diedral infinito]] <math>D_\infty</math>, pues generaliza la construcción de los [[Grupo diedral|grupos diedrales]] <math>D_n = C_n \rtimes C_2</math>.{{sfn|Dummit|Foote|2004|p=178|ps=Véase Ejemplo (1)}}
=== Como anillo ===
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* es [[anillo unitario|unitario]], puesto que el [[1|número uno]] es el [[elemento identidad]] de la multiplicación.
* es [[Anillo conmutativo|conmutativo]], pues la multiplicación también es conmutativa: ''mn=nm'' para todo par de enteros ''m'' y ''n''.
* es un anillo de [[Característica (matemática)|característica]] '''0''': no existe ningún entero positivo ''n'' tal que ''na=0'' para todo entero ''a''.{{sfn|Gamboa|Ruiz|2002|p=39}} {{sfn|Gallian|2013|p=258}}
* es un [[dominio de integridad]], ya que no tiene [[Divisor de cero|divisores de cero]]: si ''mn = 0'' entonces necesariamente ''m=0'' o bien ''n=0''.{{sfn|Gallian|2013|p=255}}
* es un [[dominio euclídeo]]: es posible definir un algoritmo de [[División euclídea|división con resto]].{{sfn|Gamboa|Ruiz|2002|p=36}}
* es un [[dominio de factorización única]], todo elemento se descompone de manera única (salvo producto por unidades y orden) como producto de elementos irreducibles. En particular este resultado se conoce como [[teorema fundamental de la aritmética]].
* todo par de elementos tiene [[máximo común divisor]] y [[mínimo común múltiplo]], y se verifica la [[identidad de Bezout]].
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== Referencias ==
{{listaref|2}}
=== Bibliografía ===
* {{cita libro
| apellido = Dummit
| apellido2 = Foote
| nombre = David S.
| nombre2= Richard M.
| título = Abstract Algebra
| edición = 3ª
| editorial = Wiley
| año = 2004
| idioma = inglés
| isbn = 978-81-265-3228-5 }}
* {{Cita libro
| apellido = Gallian
Línea 147 ⟶ 169:
| idioma = inglés
| año = 2013
}}
* {{Cita libro
| apellido = Gamboa
| nombre = José M.
| apellido2 = Ruiz
| nombre2 = Jesús M.
| título = Anillos y cuerpos conmutativos
| edición = 3ª
| año = 2002
| editorial = UNED
}}
* {{Cita libro
Línea 165 ⟶ 197:
| año = 2007
| isbn = 978-84-205-3180-9
}}
* {{Cita libro
| apellido = Smith
| nombre = Douglas
| apellido2 = Eggen
| nombre2 = Maurice
| apellido3 = St. Andre
| nombre3 = Richard
| título = A Transition to Advanced Mathematics
| edición = 7ª
| año = 2011
| isbn = 978-0-495-56202-3
}}
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