Diferencia entre revisiones de «Teorema de Wilson»
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La proposición recíproca también es verdadera, por lo que puede afirmarse que un número ''n''> 1 es primo si y solo si (''n''− 1)! ≡ − 1 (mod ''n''). Sin embargo, solo la implicación de arriba es conocida como teorema de Wilson (o Congruencia de Wilson). Por tanto, el teorema, probado su recíproco, proporciona una condición necesaria y suficiente para que el número entero <math> k</math> sea primo.<ref>Burton W. Jones ''Teoría de los números'' Editorial F. Trillas Ciudad de México (1969)</ref><ref> Se ha ha adecuado el enunciado que da Iván Vinográdov en su «Fundamentos de la teoría de los números» </ref>
== Historia ==
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:<math>(p-1)!\equiv -1 \pmod p</math>
se cumple. Dado que ''p'' no es primo, existe
:<math> a \cdot \alpha \equiv -1 \pmod p</math>
Línea 124 ⟶ 121:
:<math> \alpha=\prod_{1 \leq k < p \atop k \neq a } k = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot (a-1) \cdot (a+1) \cdot \dots \cdot (p-2) \cdot (p-1).</math>
Aprovechando el hecho de que
=== Usando teoría de grupos ===
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Así, la primalidad del número se determina mediante los [[residuo cuadrático|residuos cuadráticos]] de ''p''. Esto se puede usar de hecho para probar parte de otro famoso resultado: −1 es un cuadrado (residuo cuadrático) mod ''p'' si ''p'' ≡ 1 (mod 4). Para la suposición, ''p'' = 4''k'' + 1 para algún entero ''k''. Entonces, tomando ''n'' = 2''k'' y sustituyendo, se concluye que:
:<math>\left( \prod_{j=1}^{2k}\ j \right)^{2} = \prod_{j=1}^{2k}\ j^2\ \equiv (-1)^{2k+1}\ = -1\ (\mbox{mod}\ p).</math>
El teorema de Wilson ha sido utilizado para generar [[Fórmula de los números primos|fórmulas para los primos]], pero es demasiado lento como para tener valor práctico.
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