Diferencia entre revisiones de «Cuantización»
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==Definición formal==
En concreto dada la descripción hamiltoniana de un sistema clásico mediante una [[variedad simpléctica]] <math>(\mathcal{M},\omega)</math> se puede definir<ref>Abraham & Marsden, 1985.</ref>
# <math>(f_i+f_j)\hat{} = \hat{f}_j + \hat{f}_j</math>
# <math>(\lambda f_i)\hat{} = \lambda \hat{f}_j \qquad \lambda \in \R</math>
# <math>\{ f_i, f_j \} \hat{} = -i [\hat{f}_i,\hat{f}_i]</math>
# <math>\hat{1} = I_\mathcal{H}</math>
# Los operadores de posición <math>\hat{q}_i</math> y sus momentos conjugados <math>\hat{p}_i</math> actúan irreduciblemente sobre <math>\mathcal{H}</math>.
Donde <math>I_\mathcal{H}</math> es la aplicación identidad sobre el espacio de Hilbert asignado al sistema, <math>\{ \cdot , \cdot \}</math> es el [[paréntesis de Poisson]] y <math>[ \cdot , \cdot ]</math> es el conmutador de operadores.
Por el teorema de Stone-von Neumann la condición (5) implica que los grados de libertad de desplazamiento nos obligan a tomar <math>\mathcal{H} \approx L^2(\R^n)</math> y un operador es multiplicativo y otro derivativo. Así si se usan la representación en forma de función de onda en términos de las coordeandas espaciales:</br>
</br>
:<math>\hat{q}_i \psi(q_i) = q_i \psi(q_i) \qquad
\hat{p}_i \psi(q_i) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial q_i} \psi(q_i)</math>
</br>
Si se usan la representación en forma de función de onda en términos de las coordeandas de momento conjugado:</br>
</br>
:<math>\hat{p}_i \psi(p_i) = p_i \tilde{\psi}(p_i) \qquad
\hat{q}_i \psi(p_i) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial p_i} \tilde{\psi}(p_i)</math>
</br>
===Sistemas cuantizables===
Un sistema hamiltoniano clásico definido sobre una [[variedad simpléctica]] <math>(\mathcal{M},\omega)</math> se llama cuantizable si existe un [[fibrado principal|<math>S^1</math>-fibrado principal]] <math>\pi:\mathcal{Q_M} \to \mathcal{M}</math> y una [[1-forma]] <math>\alpha\;</math> sobre <math>\mathcal{Q_M}</math>, llamada variedad de cuantización, tal que:
# <math>\alpha\;</math> es invariante bajo la acción de <math>S^1 [\approx U(1)]</math>
# <math>\pi^*\omega = d\alpha\;</math>
Un resultado recogido en Steenrod [[1951]] implica que una variedad es cuantizable si la segunda clase de cohomología satisface cierta propiedad:
:''<math>(\mathcal{M},\omega)</math> es cuantizable si y sólo si <math>\omega/h \in H^2(\mathcal{M},\mathbb{Z})</math>, es decir la integral de la forma simpléctica integrada sobre una variedad compacta de dimensión 2 es un número entero multiplicado por la [[constante de Planck]]. Es más en aquellos casos en que existe más de un modo de cuantizar un sistema clásico, las diferentes cuantizaciones pueden clasificarse de acuerdo con la forma de <math>H^1(\mathcal{M},\mathbb{Z})</math>''
==Primera cuantización==
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