Diferencia entre revisiones de «Teorema de Rivlin-Ericksen»
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El '''teorema de Rivlin-Ericksen''' (1955) se debe fundamentalmente a [[Ronald Rivlin]] y establece una limitación importante a la [[ecuación constitutiva]] de un [[mecánica de sólidos deformables|sólido deformable]] [[isotropía|isótropo]] y [[principio de objetividad material|objetivo]].
==Enunciado del teorema==
El teorema afirma que si <math>\mathbf{C}</math> es el tensor de respuesta que relaciona el [[Tensor deformación#Tensores finitos de Deformación|tensor gradiente de deformación]] ''F'' con el [[tensor tensión]] ''T'' de un material objetivo e isótropo, cuyo tensor gradiente de deformación es ''F'' entonces su tensor tensión viene dado por:
:<math> T = \mathbf{C}(F) = \bar{\mathbf{C}} (FF^{T}) </math>
Donde:
:<math> \bar{\mathbf{C}}:\mathbf{S_{>3}\subset{M_3}} \to \mathbf{S_3}\subset{\mathbf{M_3}}</math></br>
:<math> \bar{\mathbf{C}}(E) = \beta_0(\iota_E)I + \beta_1(\iota_E)E + \beta_2(\iota_E)E^2 </math></br>
</br>
<math>\mathbf{M_{3}}</math>, conjunto de matrices de 3×3.</br>
<math>\mathbf{S_{3}}</math>, conjunto de matrices 3×3 simétricas.</br>
<math>\mathbf{S_{>3}}</math>, conjunto de matrices 3×3 simétricas definidas positivas.</br>
<math>\iota_E</math>, conjunto de invariantes algebraicos (traza, invariante cuadrático y determinante), de la matriz ''E''.</br>
Teniendo en cuenta que la relación entre el tensor gradiente de deformación ''F'' y el tensor deformación ''D'' es simplemente ''F'' = ''I''+2''E'' (donde ''I'' es la matriz identidad), puede verse cual es la forma más general posible de tensor respuesta o ecuación constitutiva de un material isótropo.
==Sólidos elásticos lineales e isótropos==
Para el caso de sólidos [[elasticidad (mecánica de sólidos)|elásticos]] lineales se puede demostrar rigurosamente a partir del teorema de Rivlin-Ericksen que el [[tensor tensión]] ''T'' y el [[tensor deformación]] ''D'' están relacioandos por:</br>
</br>
:<math> T = \mathbf{C}(I+2D) = \lambda tr(D)I + 2\mu D </math>
</br>
Donde λ y μ reciven los nombres de primer y segundo '''coeficientes de Lamé''', y son constantes elásticas específicas de cada material. Es decir, un sólido elástico lineal tiene:</br>
</br>
:<math>\beta_0(\iota_D) = \lambda tr(D) - 4\mu ; \qquad \beta_1(\iota_D) = 4\mu ; \qquad \beta_2(\iota_E) = 0 \,</math></br>
</br>
==Enlaces externos==
*[http://www.rubberconsultants.com/newsletters/articles/Article1.htm Contribuciones de Rivlin a la mecánica de la fractura]
==Bibliografía==
* Dietrich Braess, ''Finite Elements: Theory, fast solvers and aplications in solid mechanics'', Cambridge University Press, 1997, pp. 254-255.
* Tomas Carlsson, Frank M. Leslie: ''The development of theory for flow and dynamic effects for nematic liquid crystals'', Liquid Crystals, V 26, N 9 / September 1, 1999, pp. 1267 - 1280, URL: http://taylorandfrancis.metapress.com/link.asp?id=ekncnam7bkr24tb9
[[Categoría:Mecánica de medios continuos]]
[[Categoría:Teoremas de la física]]
[[en:Rivlin-Ericksen theorem]]
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