Diferencia entre revisiones de «Fibrado principal»
Contenido eliminado Contenido añadido
m robot Añadido: it:Fibrato principale |
m Bot: Traduciendo plantillas de citas; cambios triviales |
||
Línea 1:
En [[matemática]], un '''G-fibrado principal''' es una clase
especial de [[
son todas [[espacio homogéneo|espacios homogéneos]]
principales respecto a un [[grupo topológico]].
Los ''G''-fibrados principales
el grupo ''G''
fibrado. Los fibrados principales tienen usos importantes
en la [[topología]] y la [[geometría diferencial]].
Línea 12:
proporcionan un marco unificador en la teoría de los
fibrados en el sentido que todos los fibrados con
grupo estructural ''G''
reconstruido el fibrado original.
== Definición formal ==
Un <math>G</math>-fibrado principal es un [[fibrado]]
<math>\pi: P \to X</math> junto a una [[acción]] a derecha continua
<math>P \times G \to P</math> por un [[grupo topológico]] <math>G</math> tal que <math>G</math>
preserva las fibras de <math>P</math> y la acción
es [[acción libre|libre]] y [[acción transitiva|transitiva]].
Línea 26:
Se sigue que las [[órbita (teoría de grupos)|órbitas]] de la
<math>G</math>-acción
son precisamente las fibras del fibrado y el espacio de órbitas es
[[homeomorfo]] al espacio homogéneo <math>P/G</math>.
Línea 35:
fibra por la multiplicación a izquierda. Puesto que la multiplicación
a derecha por <math>G</math> en la fibra conmuta con la acción del
grupo estructural, existe una noción invariante de
derecha de <math>G</math> sobre <math>P</math>.
La noción de fibrado principal se puede extender a la
[[teoría de categorías|categoría]] de las
[[variedad|variedades diferenciables]], requiriendo que
<math>\pi: P \to X</math> sea una aplicación diferenciable entre
variedades, <math>G</math>
de <math>G</math> sobre <math>P</math> sea diferenciable.
== Ejemplos ==
El ejemplo más común de un fibrado principal
Línea 53:
[[espacio tangente]] <math>T_xM</math>. El [[grupo general lineal]]
<math>GL(n,\mathbb R)</math> actúa en forma simple y transitiva
sobre el conjunto de bases.
Estas fibras se pueden unir de manera natural
para obtener un <math>GL(n,\mathbb R)</math>-fibrado principal sobre
Línea 61:
incluyen el [[fibrado de referencias ortonormales]] de una
[[variedad riemanniana]]. Aquí las referencias deben ser bases
ortonormales respecto a la
El grupo estructural es el [[grupo ortogonal]] <math>O(n)</math>.
Si <math>X</math> es un espacio topológico y <math> p: C \to X</math>
es un [[cubrimiento]] normal (regular), esto último puede ser considerado
un fibrado principal
donde el grupo estructural <math> \pi_1(X) /p_{*}\pi_1(C) </math>
actúa sobre <math>C</math> vía la acción de monodromía.
Línea 75:
Sean <math>G</math> un grupo de Lie y <math>H</math> un
un subgrupo cerrado (no necesariamente [[subgrupo normal|normal]]).
Entonces <math>G</math>
[[espacio cociente]] (izquierdo) <math>G/H</math>. Aquí la
acción de <math>H</math> en <math>G</math> es la multiplicación
Línea 84:
Consideremos la proyección <math>\pi:S^1 \to S^1</math>
dada por <math>z \mapsto z^2</math>. Este
a la [[banda de Moebius]].
Línea 90:
ejemplos interesantes de fibrados principales. Recordemos que
la <math>n</math>-[[esfera]] <math>S^n</math>
es un cubrimiento
[[espacio proyectivo real]] <math>\mathbb R \mathbb P^n</math>.
La acción natural de <math>O(1)</math> sobre <math>S^n</math>
Línea 100:
<math>S^{4n+3}</math> es un
<math>Sp(1)</math>-fibrado principal sobre el
[[espacio proyectivo cuaterniónico]]
<math>\mathbb H \mathbb P^n</math>. Entonces tenemos
una serie de fibrados principales para cada entero positivo
Línea 112:
Aquí <math>S(V)</math> denota la esfera unidad en
<math>V</math>. Por todos estos ejemplos el caso <math>n =
1</math> da los
== Trivializaciones y secciones ==
Una de las preguntas más importantes con respecto a un espacio
Línea 121:
caracterización conveniente de la trivialidad:
: '''Teorema'''. ''Un fibrado principal es trivial si y solamente si admite una sección
Este resultado no es cierto para fibrados en general. En particular
Línea 135:
<math> \phi: \pi^{- 1}(U) \to U \times G</math>
podemos definir una sección local asociada
:<math>s: U \to \pi^{- 1}(U)</math>,
:<math>s(x) := \phi^{- 1}(x,e)</math>
donde <math>e</math> es la [[elemento identidad|identidad]] en <math>G</math>.
Línea 143:
El hecho de que <math>G</math> actúa en forma simple y transitiva
garantiza que esta aplicación es una [[biyección]]. Es posible comprobar
que
definidas por una sección local son
<math>G</math>-[[equivariante
si escribimos
:<math> \phi: \pi^{- 1}(U) \to U \times G</math>
en la forma
:<math> \phi(p) = (\pi(p), \varphi(p))</math>
entonces la aplicación
:<math>\varphi(p\cdot g) = \varphi(p) \cdot g</math>
En términos de las secciones locales <math>s</math>,
Línea 156:
:<math>\varphi(s(x)\cdot g) = g.</math>
La versión local del teorema
de la sección
trivializaciones locales equivariantes de un fibrado principal
están en correspondencia con las secciones locales.
Sea <math>(\{U_i\}, \{\phi_i\})</math> una trivialización local equivariante
de <math>P</math> y
<math>U_i \cap U_j</math> las secciones <math>s_i</math> y <math>s_j</math> están relacionadas por el grupo <math>G</math>. En efecto, las [[funciones de transición]] entre las diferentes trivializaciones,
dadas por
Línea 170:
:<math>s_j(x) = s_i(x) \cdot t_{ij}(x).</math>
== Caracterización de fibrados principales diferenciables ==
Línea 177:
en <math>P</math> de modo que el espacio de órbitas <math>G/P</math>
es [[difeomorfismo|difeomorfo]] al espacio base <math>X</math>.
Resulta que esto caracteriza completamente a los
principales diferenciables. Esto es, si <math>P</math> es una
variedad diferenciable, <math>G</math> es un grupo de Lie y
<math>\mu:P\times G \to P</math> una acción a derecha diferenciable,
libre y propia entonces
* <math>P/G</math> (espacio cociente por la acción <math>\mu</math>) es una variedad diferenciable,
* la proyección natural <math>\pi:P \to P/G</math> es una [[sumersión]], y
* <math>P</math> es un <math>G</math>-fibrado principal diferenciable sobre <math>P/G</math>.
== Reducción del grupo estructural ==
Sea <math>\pi: P \to X</math> es un <math>G</math>-fibrado principal.
Dado un subgrupo
<math>H \subset G</math>, podemos considerar el
fibrado <math>P/H</math> cuyas fibras son los
[[coconjunto
<math>G/H</math>. Si el nuevo fibrado
diremos que
En particular, si el <math>H</math> es la identidad,
entonces una
sección global del fibrado original, lo cual es equivalente a que el fibrado
sea trivial. En general no existen las reducciones del grupo
Línea 205:
de la reducción del grupo estructural.
Por ejemplo:
* Una variedad real <math>2n</math>-dimensional admite una [[estructura compleja]] si el [[fibrado de marcos]] correspondiente a la variedad, cuyas fibras son <math>GL(2n,\mathbb{R})</math>, puede ser reducido al grupo <math>GL(n,\mathbb{C}) \subset GL(2n,\mathbb{R}).</math>
* Una variedad <math>n</math>-dimensional admite <math>n</math> campos vectoriales linealmente independientes en cada punto si
*Una variedad real <math>n</math>-dimensional admite un campo <math>k</math>-plano si el fibrado de marcos puede ser reducido al grupo estructural <math>GL(k,\mathbb{R}) \subset GL(n,\mathbb{R})</math>
Línea 217:
* [[teoría de gauge]]
== Referencias ==
*{{cite book | first = David | last = Bleecker | title = Gauge Theory and Variational Principles | year = 1981 | publisher = Addison-Wesley Publishing | id = ISBN 0-486-44546-1 (Dover edition)}}▼
*{{cite book | first = Jürgen | last = Jost | title = Riemannian Geometry and Geometric Analysis | year = 2005 | edition = (4th ed.) | publisher = Springer | location = New York | id = ISBN 3-540-25907-4}}▼
*{{cite book | last = Sharpe | first = R. W. | title = Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program | publisher = Springer | location = New York | year = 1997 | id = ISBN 0-387-94732-9}}▼
*{{cite book | last = Steenrod | first = Norman | title = The Topology of Fibre Bundles | publisher = Princeton University Press | location = Princeton | year = 1951 | id = ISBN 0-691-00548-6}}▼
▲*{{
▲*{{
▲*{{
▲*{{
[[Categoría:Topología]]
| |||