Diferencia entre revisiones de «Rotor rígido»
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Expresiones de la energía cinética |
→Forma lagrangiana: y otras |
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Línea 124:
<math>
\mathbf{R}(\alpha,\beta,\gamma)^{-1}\; \mathbf{I}(t)\; \mathbf{R}(\alpha,\beta,\gamma)
= \mathbf{I}(0)\quad\hbox{
\mathbf{I}(0) =
\begin{pmatrix}
Línea 171:
El vector <math>\boldsymbol{\omega} = (\omega_x, \omega_y, \omega_z) </math> contiene las componentes de la [[velocidad angular]] del rotor expresada respecto del sistema de referencia fijo en el cuerpo. Se puede demostrar que <math>\boldsymbol{\omega}</math> ''no'' es la derivada respecto del tiempo de ningún vector, en contraste con la [[velocidad|definición de velocidad]] habitual. Los ''puntos'' sobre los ángulos de Euler dependientes del tiempo indican la [[notación de Newton para la diferenciación|derivada respecto del tiempo]].
La velocidad angular satisface las ecuaciones de movimiento denominadas [[
===== Forma lagrangiana =====
Sustituyendo la expresión de <math>\boldsymbol{\omega}</math> en ''T'' permite obtener la energía cinética en la [[mecánica lagrangiana|forma lagrangiana]] (en función de las derivadas respecto del tiempo de los ángulos de Euler). En notación matricial se expresa como:
{{ecuación|
<math>
2 T =
\begin{pmatrix}
\dot{\alpha} & \dot{\beta} & \dot{\gamma}
\end{pmatrix}
\; \mathbf{g} \;
\begin{pmatrix}
\dot{\alpha} \\ \dot{\beta} \\ \dot{\gamma}\\
\end{pmatrix},
</math>
||left}}
donde <math>\mathbf{g}</math> es el tensor de la métrica expresado en los ángulos de Euler angles—un sistema de [[coordenadas curvilíneas]] no-ortogonal—
{{ecuación|
<math>
\mathbf{g}=
\begin{pmatrix}
I_1 \sin^2\beta \cos^2\gamma+I_2\sin^2\beta\sin^2\gamma+I_3\cos^2\beta &
(I_2-I_1) \sin\beta\sin\gamma\cos\gamma &
I_3\cos\beta \\
(I_2-I_1) \sin\beta\sin\gamma\cos\gamma &
I_1\sin^2\gamma+I_2\cos^2\gamma & 0 \\
I_3\cos\beta & 0 & I_3 \\
\end{pmatrix}.
</math>
||left}}
===== Expresión en función del momento angular =====
Amenudo la energía cinética se escribe en función del [[Momento angular#Momento angular en mecánica clásica|momento angular]] <math>\vec{L}</math> del rotor rígido. Este vector es una magnitud que se conserva (independiente del tiempo). Sus componentes, <math>\mathbf{L}</math>, respecto del sistema de referencia fijo en el cuerpo se relacionan con la velocidad angular mediante
{{ecuación|
<math>
\mathbf{L} =
\mathbf{I}(0)\;
\boldsymbol{\omega}\quad\hbox{o}\quad L_i = \frac{\partial T}{\partial\omega_i},\;\; i=x,\,y,\,z.
</math>
||left}}
Debido a que el sistema de referencia fijo en el cuerpo se mueve (depende del tiempo), estas componentes ''no'' son independientes del tiempo. Si quisiesemos representar <math>\vec{L}</math> respecto del sistema de referencia fijo en el espacio (y, por tanto, estacionario) deberiamos obtener expresiones independientes del tiempo para sus componentes. La energía cinética toma la forma
{{ecuación|
<math>
T = \frac{1}{2} \left[ \frac{L_x^2}{I_1} + \frac{L_y^2}{I_2}+ \frac{L_z^2}{I_3}\right].
</math>
||left}}
===== Forma hamiltoniana =====
{{endesarrollo}}
== Referencias ==
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