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En [[mecánica cuántica]], la '''teoría perturbacional''' o '''teoría de perturbaciones''' es un conjunto de esquemas aproximados para describir sistemas cuánticos complicados en términos de otros más sencillos. La idea es empezar con un sistema simple y gradualmente ir activando [[hamiltoniano]]s "perturbativos", que representan pequeñas alteraciones al sistema. Si la alteración o perturbación no es demasiado grande, las diversas magnitudes físicas asociadas al sistema perturbado (por ejemplo sus niveles de [[energía]] y sus [[estado propio|estados propios]]) podrán ser generados de forma contínua a partir de los del sistema sencillo. De esta forma, podemos estudiar el sistema complejo basándonos en el sistema sencillo.
En particular al estudiar las energías de un sistema físico, el método consiste en identificar dentro del Hamiltoniano (perturbado) qué parte de éste corresponde a un problema con solución conocida (Hamiltoniano no perturbado en caso que su solución sea analítica) y considerar el resto como un potencial que modifica al anterior Hamiltoniano. Dicha identificación permite escribir a los autoestados del Hamiltoniano perturbado como una combinación lineal de los autoestados del Hamiltoniano sin perturbar y a las autoenergías como las autoenergías del problema sin perturbar más términos correctivos.
== Teoría de perturbaciones de muchos cuerpos ==▼
También llamada "teoría de perturbaciones de Möller-Plesset" y "teoría de perturbaciones de Rayleigh y Schrödinger", por sus usos tempranos en mecánica cuántica, se le llama "de muchos cuerpos" por su popularidad entre los físicos que trabajan con sistemas infinitos. Para ellos, la consistencia con la talla del problema, que se discute más abajo, es una cuestión de gran importancia, obviamente.▼
=== Procedimiento
==== Caso no degenerado ====
Sea <math>H</math> el Hamiltoniano de un sistema físico. De acuerdo con lo antes mencionado, el mismo se puede escribir como <math>\hat H=\hat H_0+\lambda \hat V</math>, donde <math>\hat H_0</math> corresponde al Hamiltoniano sin pertubar (cuyas soluciones se conocen) y <math>\hat V</math> es el potencial que modifica a <math>H_0</math>. El parámetro <math>\lambda</math> controla la magnitud de la perturbación. En general es un parámetro ficticio que se usa por conveniencia matemática y que al final del análisis se toma <math>\lambda=1</math>. Por otro lado, los autoestados de <math>H</math> se escriben como una combinación lineal de los autoestados de <math>H_0</math>
<center><math>|\psi_n\rangle=\sum_m\sum_k\lambda^kc^{(k)}_{nm}|\psi^{(0)}_m\rangle</math></center>
y las energías como
<center><math>E_n=\sum_k\lambda^kE_n^{(k)}</math></center>
donde <math>E_n^{(k)}</math> es la <math>k</math>-ésima corrección a la energía. El índice <math>k</math> indica el orden de la corrección comenzando por <math>k=0</math>. Es decir, cuanto mayor sea <math>k</math>, mejor aproximación se tendrá y para <math>k=0</math> no hay corrección alguna. En las anteriores expresiones se ha supuesto que
<center><math>H_0|\psi^{(0)}_n\rangle=E^{(0)}_n|\psi^{(0)}_n\rangle</math> y <math>H|\psi_n\rangle=E_n|\psi_n\rangle</math></center>
Si reemplazamos las expresiones para <math>H</math>, <math>E_n</math> y <math>|\psi_n\rangle</math> en la segunda ecuación de la anterior línea se tiene
<center><math>H|\psi_n\rangle=E_n|\psi_n\rangle</math></center>
<center><math>(H_0+\lambda V)\sum_m\sum_k\lambda^kc^{(k)}_{nm}|\psi^{(0)}_m\rangle=(\sum_{k_1}\lambda^{k_1}E_n^{(k_1)})\sum_{m'}\sum_{k_2}\lambda^{k_2}c^{(k_2)}_{nm'}|\psi^{(0)}_{m'}\rangle</math></center>
<center><math>\sum_k\sum_m\lambda^kc^{(k)}_{nm}(E^{(0)}_m+\lambda V)|\psi^{(0)}_m\rangle=\sum_{k_1}\sum_{k_2}\sum_{m'}E_n^{(k_1)}\lambda^{k_1+k_2}c^{(k_2)}_{nm'}|\psi^{(0)}_{m'}\rangle</math></center>
<center><math>\sum_k\sum_m\lambda^kc^{(k)}_{nm}(E^{(0)}_m+\lambda V)|\psi^{(0)}_m\rangle=\sum_{k_1,k_2}\sum_{m'}E_n^{(k_1)}\lambda^{k_1+k_2}c^{(k_2)}_{nm'}|\psi^{(0)}_{m'}\rangle</math></center>
<center><math>\sum_mc^{(0)}_{nm}E^{(0)}_m|\psi_m^{(0)}\rangle+\sum_{k=1}\sum_m\lambda^k(c^{(k)}_{nm}E^{(0)}_m+c^{(k-1)}_{nm} V)|\psi^{(0)}_m\rangle=\sum_{m'}c^{(0)}_{nm'}E^{(0)}_n|\psi_{m'}^{(0)}\rangle+\sum_{k_1+k_2=1}\sum_{m'}E_n^{(k_1)}\lambda^{k_1+k_2}c^{(k_2)}_{nm'}|\psi^{(0)}_{m'}\rangle</math></center>
<center><math>\sum_mc^{(0)}_{nm}(E^{(0)}_m-E^{(0)}_n)|\psi_m^{(0)}\rangle+\sum_{k=1}\sum_m\lambda^k(c^{(k)}_{nm}E^{(0)}_m+c^{(k-1)}_{nm}V)|\psi^{(0)}_m\rangle=\sum_{k_1+k_2=1}\sum_{m'}E_n^{(k_1)}\lambda^{k_1+k_2}c^{(k_2)}_{nm'}|\psi^{(0)}_{m'}\rangle</math></center>
Esta igualdad se debe satisfacer para todo orden de <math>\lambda</math>. El primer término del lado izquierdo de la última línea corresponde al orden <math>k=0</math> y debe ser idénticamente nulo ya que del lado derecho de la igualdad no existen términos de dicho orden en <math>\lambda</math>. Esto implica que, para que toda la suma se anule, los <math>c^{(0)}_{nm}=\delta_{nm}</math>, donde <math>\delta_{nm}</math> es la [[delta de Kronecker]].
Por otro lado, cuando <math>k=1</math> se tiene en el lado izquierdo el primer orden de <math>\lambda</math> que se obtiene en el lado derecho cuando <math>k_1+k_2=1</math>, es decir cuando <math>k_1=1\wedge k_2=0</math> o bien cuando <math>k_1=0\wedge k_2=1</math>. Por lo tanto se tiene
<center><math>\sum_m(c^{(1)}_{nm}E^{(0)}_m+c^{(0)}_{nm}V)|\psi^{(0)}_m\rangle=\sum_{m'}(E_n^{(1)}c^{(0)}_{nm'}+E_n^{(0)}c^{(1)}_{nm'})|\psi^{(0)}_{m'}\rangle</math></center>
Para el segundo orden, <math>k=2</math> y <math>k_1=2\wedge k_2=0</math>, <math>k_1=1\wedge k_2=1</math> y <math>k_1=0\wedge k_2=2</math>, entonces
<center><math>\sum_m(c^{(2)}_{nm}E^{(0)}_m+c^{(1)}_{nm}V)|\psi^{(0)}_m\rangle=\sum_{m'}(E_n^{(2)}c^{(0)}_{nm'}+E_n^{(1)}c^{(1)}_{nm'}+ E_n^{(0)}c^{(2)}_{nm'})|\psi^{(0)}_{m'}\rangle</math></center>
Para el tercer orden, <math>k=3</math> y <math>k_1=3\wedge k_2=0</math>, <math>k_1=2\wedge k_2=1</math>, <math>k_1=1\wedge k_2=2</math> y <math>k_1=0\wedge k_2=0</math>, entonces
<center><math>\sum_m(c^{(3)}_{nm}E^{(0)}_m+c^{(2)}_{nm}V)|\psi^{(0)}_m\rangle=\sum_{m'}(E_n^{(3)}c^{(0)}_{nm'}+E_n^{(2)}c^{(1)}_{nm'}+ E_n^{(1)}c^{(2)}_{nm'}+E_n^{(0)}c^{(3)}_{nm'})|\psi^{(0)}_{m'}\rangle</math></center>
y así sucesivamente hasta el orden que se desee. A partir de las anterior igualdades es posible calcular todos los coeficientes <math>c^{(k)}_{nm}</math> de las combinaciones lineales y las correcciones a las energías <math>E^{k}_n</math>. Para obtenerlas se procede del siguiente modo: primero se usa el hecho que <math>c^{(0)}_{nm}=\delta_{nm}</math> con lo cual, para los tres órdenes respectivamente se tiene,
<center><math>\sum_mc^{(1)}_{nm}E^{(0)}_m|\psi^{(0)}_m\rangle+V|\psi^{(0)}_n\rangle=E_n^{(1)}|\psi^{(0)}_n\rangle+\sum_{m'}E_n^{(0)}c^{(1)}_{nm'}|\psi^{(0)}_{m'}\rangle</math></center>
<center><math>\sum_m(c^{(2)}_{nm}E^{(0)}_m+c^{(1)}_{nm}V)|\psi^{(0)}_m\rangle=E_n^{(2)}|\psi^{(0)}_n\rangle+\sum_{m'}(E_n^{(1)}c^{(1)}_{nm'}+ E_n^{(0)}c^{(2)}_{nm'})|\psi^{(0)}_{m'}\rangle</math></center>
<center><math>\sum_m(c^{(3)}_{nm}E^{(0)}_m+c^{(2)}_{nm}V)|\psi^{(0)}_m\rangle=E_n^{(3)}|\psi^{(0)}_n\rangle+\sum_{m'}(E_n^{(2)}c^{(1)}_{nm'}+ E_n^{(1)}c^{(2)}_{nm'}+E_n^{(0)}c^{(3)}_{nm'})|\psi^{(0)}_{m'}\rangle</math></center>
Para hallar las correcciones a la energía se debe multiplicar por el [[bra]] <math>\langle\psi^{(0)}_n|</math> y usar que <math>\langle\psi^{(0)}_n|\psi^{(0)}_n\rangle=1</math>, obteniéndose entonces
<center><math>c^{(1)}_{nn}E^{(0)}_n+\langle\psi^{(0)}_n|V|\psi^{(0)}_n\rangle=E_n^{(1)}+E_n^{(0)}c^{(1)}_{nn}</math></center>
<center><math>c^{(2)}_{nn}E^{(0)}_n+\sum_mc^{(1)}_{nm}\langle\psi^{(0)}_n|V|\psi^{(0)}_m\rangle=E_n^{(2)}+(E_n^{(1)}c^{(1)}_{nn}+ E_n^{(0)}c^{(2)}_{nn})</math></center>
<center><math>c^{(3)}_{nn}E^{(0)}_n+\sum_mc^{(2)}_{nm}\langle\psi^{(0)}_n|V|\psi^{(0)}_m\rangle=E_n^{(3)}+(E_n^{(2)}c^{(1)}_{nn}+ E_n^{(1)}c^{(2)}_{nn}+E_n^{(0)}c^{(3)}_{nn})</math></center>
Reordenando las anteriores expresiones y despejando para la corrección deseada se tiene
<center><math>E_n^{(1)}=\langle\psi^{(0)}_n|V|\psi^{(0)}_n\rangle</math></center>
<center><math>E_n^{(2)}=\sum_mc^{(1)}_{nm}\langle\psi^{(0)}_n|V|\psi^{(0)}_m\rangle-E_n^{(1)}c^{(1)}_{nn}</math></center>
<center><math>E_n^{(3)}=\sum_mc^{(2)}_{nm}\langle\psi^{(0)}_nV|\psi^{(0)}_m\rangle-(E_n^{(2)}c^{(1)}_{nn}+ E_n^{(1)}c^{(2)}_{nn})</math></center>
De este modo se han obtenido las correcciones para las energías en términos de relaciones recursivas partiendo de la primera corrección cuyo valor es el elemento de matriz <math>E_n^{(1)}=\langle\psi^{(0)}_n|V|\psi^{(0)}_n\rangle</math>. Las correcciones también dependen de los coeficientes de las combinaciones lineales. Estos pueden ser hallados con un razonamiento similar, en efecto, si en vez de haber multiplicar por <math>\langle\psi^{(0)}_n|</math> se multiplica por <math>\langle\psi^{(0)}_l|</math> con <math>l\neq n</math> se tiene
<center><math>c^{(1)}_{nl}E^{(0)}_l+\langle\psi^{(0)}_l|V|\psi^{(0)}_n\rangle=E_n^{(0)}c^{(1)}_{nl}</math></center>
<center><math>c^{(2)}_{nl}E^{(0)}_l+\sum_mc^{(1)}_{nm}\langle\psi^{(0)}_l|V|\psi^{(0)}_m\rangle=E_n^{(1)}c^{(1)}_{nl}+ E_n^{(0)}c^{(2)}_{nl}</math></center>
<center><math>c^{(3)}_{nl}E^{(0)}_l+\sum_mc^{(2)}_{nm}\langle\psi^{(0)}_l|V|\psi^{(0)}_m\rangle=E_n^{(2)}c^{(1)}_{nl}+ E_n^{(1)}c^{(2)}_{nl}+E_n^{(0)}c^{(3)}_{nl}</math></center>
Reordenando para este caso
<center><math>c^{(1)}_{nl}=\frac{\langle\psi^{(0)}_l|V|\psi^{(0)}_n\rangle}{E_n^{(0)}-E^{(0)}_l}</math></center>
<center><math>c^{(2)}_{nl}=\frac{\sum_mc^{(1)}_{nm}\langle\psi^{(0)}_l|V|\psi^{(0)}_m\rangle-E_n^{(1)}c^{(1)}_{nl}}{E_n^{(0)}-E^{(0)}_l}</math></center>
<center><math>c^{(3)}_{nl}=\frac{\sum_mc^{(2)}_{nm}\langle\psi^{(0)}_l|V|\psi^{(0)}_m\rangle-(E_n^{(2)}c^{(1)}_{nl}+ E_n^{(1)}c^{(2)}_{nl})}{E_n^{(0)}-E^{(0)}_l}</math></center>
Los coeficientes <math>c^{(k)}_{nn}</math> se calculan por normalización de el estado <math>|\psi_n\rangle</math>. Una vez obtenidos todos los coeficientes y las correcciones a la energía del orden deseado se los reemplaza en las expresiones expuestas inicialmente para determinar los autoestados de <math>H</math> y las autoenergías de dicho operados, respectivamente.
Por ejemplo, si se desea calcular la corrección para la energía a primer orden y los autoestados correspondientes, las expresiones
<center><math>|\psi_n\rangle=\sum_m\sum_k\lambda^kc^{(k)}_{nm}|\psi^{(0)}_m\rangle</math> y <math>E_n=\sum_k\lambda^kE_n^{(k)}</math></center>
se cortan para <math>k=1</math> quedando
<center><math>|\psi_n\rangle=\sum_mc^{(0)}_{nm}|\psi^{(0)}_m\rangle+\sum_mc^{(1)}_{nm}|\psi^{(0)}_m\rangle</math> y <math>E_n=E_n^{(0)}+E_n^{(1)}</math></center>
luego, se reemplazan los resultados antes hallados
<center><math>|\psi_n\rangle=(1+c^{(1)}_{nn})|\psi^{(0)}_n\rangle+\sum_{m\neq n}\frac{\langle\psi^{(0)}_l|V|\psi^{(0)}_n\rangle}{E_n^{(0)}-E^{(0)}_l}|\psi^{(0)}_m\rangle</math> y <math>E_n=E_n^{(0)}+\langle\psi^{(0)}_n|V|\psi^{(0)}_n\rangle</math></center>
y se obtienen las aproximaciones de los estados y las energías para el problema con la perturbación <math>V</math>.
▲== Teoría de perturbaciones de muchos cuerpos ==
▲También llamada "teoría de perturbaciones de Möller-Plesset" y "teoría de perturbaciones de Rayleigh y Schrödinger", por sus usos tempranos en mecánica cuántica, se le llama "de muchos cuerpos" por su popularidad entre los físicos que trabajan con sistemas infinitos. Para ellos, la consistencia con la talla del problema, que se discute más abajo, es una cuestión de gran importancia, obviamente.
=== Representación diagramática y consistencia con la talla del problema ===
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