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[[Archivo:ChebyshevPsi.png|thumb|right|La función de Chebyshov <math>\psi(x)</math>, para <math>x < 50</math>]]
[[Archivo:Chebyshev.svg|thumb|right|La función de Chebyshov <math>\psi(x)-x</math>, para <math>x < 10,000</math>]]
[[Archivo:Chebyshev-big.svg|thumb|right|La función de Chebyshov <math>\psi(x)-x</math>, para <math>x < 10\ \mathrm{million}</math>]]
En [[matemáticas]], la '''función de Chebyshov''' es alguna de dos funciones relacionadas. La '''primera función de Chebyshov''' ϑ(''x'') o θ(''x'') se expresa como:
Ambas funciones se llaman así en recuerdo de [[Pafnuti Chebyshov]].
== Propiedades ==
Un teorema de [[Erhard Schmidt]] asegura que, para ''cualquier'' real, positivo ''K'', existen valores de ''x'' tal que
:<math>\psi(x)-x < -K\sqrt{x}</math>
y
:<math>\psi(x)-x > K\sqrt{x}</math>
se cumple en infinitas ocasiones.{{ref|Sch03}}{{ref|Hard16}} En [[notación O]], podríamos expresar lo anterior como
:<math>\psi(x)-x \ne O\left(\sqrt{x}\right).</math>
Hardy y Littlewood{{ref|Hard16}} provaron un resultado mas fuerte:
:<math>\psi(x)-x \ne O\left(\sqrt{x}\log\log\log x\right).</math>
== Relaciones ==
:<math>\operatorname{mcm}(1,2,\dots n)=e^{\psi(n)}.</math>
==== Relación con la función <math>\Pi(x)</math> ====
== Asymptotics and bounds ==
La función de Chebyshov puede ser relacionada con la función <math>\pi(x)</math> de la siguiente manera. Defina
[[Pierre Dusart]]{{ref|Dusart}} proved the following bounds for the Chebyshev functions:
: <math> \varthetaPi(p_kx)\ge k\left(= \lnsum_{n k+\ln\lnleq x} k-1+\frac{\ln\ln k-2.0553Lambda(n)}{\lnlog kn}\right). </math> for ''k''' ≥ exp(22)
Entonces
:<math>\vartheta(p_k)\le k\left( \ln k+\ln\ln k-1+\frac{\ln\ln k-2}{\ln k}\right)</math> for ''k'' ≥ 198
: <math> \psiPi(p_kx) = \lesum_{n k\leftleq x} \Lambda(n) \lnint_n^x k+\lnfrac{dt}{t \lnlog^2 t} k-1+ \frac{1}{\ln\lnlog k-2x} \sum_{n \lnleq kx} \rightLambda(n) = \int_2^x \frac{\psi(t)\, dt}{t \log^2 t} + 1.43\sqrtfrac{\psi(x)}{\log x}. </math> for ''k'' ≥ 198
La relación entre <math>\Pi(x)</math> y la [[función contadora de primos]], <math>\pi(x)</math>, se tiene en la siguiente ecuación
:<math>|\vartheta(x)-x|\le0.006788\frac{x}{\ln x}</math> for ''x'' ≥ 10,544,111
: <math>| \psiPi(x)- = \pi(x|\le0.006409) + \frac{x1}{\ln2} \pi(x}<^{1/math>2}) for+ ''x''\frac{1}{3} ≥ exp\pi(22x^{1/3}) + \cdots. </math>
Ciertamente <math>\pi(x) \leq x</math>, de manera que la última relación se puede escribir en la forma
:<math>\psi(x)-\vartheta(x)<0.0000132\frac{x}{\ln x}</math> for ''x'' ≥ exp(30)
: <math> \pi(x) = \Pi(x) + O(\sqrt x). </math>
Along with <math>\psi(x)\ge \vartheta(x)</math>, this gives a good characterization of the behavior of these two functions.
==== Relación con los primordiales ====
== The exact formula ==
In 1895, [[Hans Carl Friedrich von Mangoldt]] proved{{ref|Dav104}} an explicit expression for <math>\psi(x)</math> as a sum over the nontrivial zeros of the [[Riemann zeta function]]:
La primera función de Chebyshov es el logaritmo de el [[primordial]] de ''x'', denotado por ''x''#:
: <math> \psi_0(x) = x - \sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho} - \frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)} - \frac{1}{2} \log (1-x^{-2}). </math>
Here <math>\rho</math> runs over the nontrivial zeros of the zeta function, and
: <math> \psi_0(x) = \begin{cases} \psi(x) - \frac{1}{2} \Lambda(x) & x = p^m \mbox{, p prime, m an integer} \\ \psi(x) & \mbox{otherwise.} \end{cases}</math>
From the [[series de Taylor]] for the [[logaritmo]], the last term in the explicit formula can be understood as a summation of <math>-x^{\omega}/{\omega}</math> over the trivial zeros of the zeta function, <math>\omega = -2, -4, -6, \ldots</math>, i.e.
: <math> \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k}}{2k} = \frac{1}{2} \log ( 1 - x^{-2} ). </math>
== Properties ==
A theorem due to [[Erhard Schmidt]] states that, for ''any'' real, positive ''K'', there are values of ''x'' such that
:<math>\psi(x)-x < -K\sqrt{x}</math>
and
:<math>\psi(x)-x > K\sqrt{x}</math>
infinitely often.{{ref|Sch03}}{{ref|Hard16}} On [[notación big-O]], one may write the above as
:<math>\psi(x)-x \ne O\left(\sqrt{x}\right).</math>
Hardy and Littlewood{{ref|Hard16}} prove the stronger result, that
:<math>\psi(x)-x \ne O\left(\sqrt{x}\log\log\log x\right).</math>
== Relation to primorials ==
The first Chebyshev function is the logarithm of the [[primordial]] of ''x'', denoted ''x''#:
:<math>\vartheta(x)=\sum_{p\le x} \log p=\log \prod_{p\le x} p = \log x\#.</math>
ThisEsto provesprueva thatque theel primorialprimordial ''x''# ises asymptoticallyasintóticamente equaligual toa exp((1+o(1))''x''), wheredonde "o" ises theel little-osímbolo notationde Landau (seeó notación o-pequeña, vease [[notación Big O]]) andy togetherjunto withcon theel primeteorema numberde theoremlos números primos, establishesestablece theun asymptoticcomportamiento behaviorasintótico ofde ''p''<sub>''n''</sub>#.
==== Relación con la función suavizante ====
== Relation to the prime-counting function ==
La '''Función Suavizante''' está definida como
The Chebyshev function can be related to the prime-counting function as follows. Define
: <math> \Pipsi_1(x) = \sum_{n \leq int_0^x} \frac{\Lambdapsi(nt)}{\log n},dt. </math>
Se puede demostrar que
Then
:<math>\psi_1(x) \sim \frac{x^2}{2}.</math>
: <math> \Pi(x) = \sum_{n \leq x} \Lambda(n) \int_n^x \frac{dt}{t \log^2 t} + \frac{1}{\log x} \sum_{n \leq x} \Lambda(n) = \int_2^x \frac{\psi(t)\, dt}{t \log^2 t} + \frac{\psi(x)}{\log x}. </math>
== Una fórmula exacta ==
The transition from <math>\Pi</math> to the [[función contadora de primos]], <math>\pi</math>, is made through the equation
En 1895, [[Hans Carl Friedrich von Mangoldt]] provó{{ref|Dav104}} una expresión explícita para <math>\psi(x)</math>, la cual envuelve la suma de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann:
: <math> \Pipsi_0(x) = \pi(x) +- \sum_{\rho} \frac{1x^{\rho}}{2\rho} - \pi(x^frac{1/2\zeta'(0)}{\zeta(0)} +- \frac{1}{32} \pilog (1-x^{1/3-2}) + \cdots. </math>
Donde <math>\rho</math> recorre todos los ceros notriviales de la función zeta, y
Certainly <math>\pi(x) \leq x</math>, so for the sake of approximation, this last relation can be recast in the form
: <math> \pipsi_0(x) = \Pibegin{cases} \psi(x) +- O\frac{1}{2} \Lambda(x) & x = p^m \sqrtmbox{, p primo, m un entero} \\ \psi(x) & \mbox{en caso contrario.} \end{cases}</math>
De las series de taylos parala el [[logaritmo]], el último término de la fórmula explícita puede ser interpretado como la sumación de <math>-x^{\omega}/{\omega}</math> sobre todos los ceros no triciales de la función zeta, <math>\omega = -2, -4, -6, \ldots</math>, i.e.
== The Riemann hypothesis ==
The [[hipótesis de Riemann]] states that all nontrivial zeros of the zeta function have real part 1/2. In this case, <math>|x^{\rho}|=\sqrt x</math>, and it can be shown that
: <math> \sum_{k=1}^{\rhoinfty} \frac{x^{\rho2k}}{\rho2k} = O(\sqrt xfrac{1}{2} \log ( 1 - x^{-2} x). </math>
==Comportamiento asintótico==
By the above, this implies
[[Pierre Dusart]]{{ref|Dusart}} provó los siguientes comportamientos asintóticos para las funciones de Chebyshov:
: <math> \pivartheta(xp_k)\ge = k\operatorname{li}left(x) +\ln O(k+\sqrt xln\ln k-1+\frac{\ln\logln x)k-2.0553}{\ln k}\right)</math> para ''k''' ≥ exp(22)
:<math>\vartheta(p_k)\le k\left( \ln k+\ln\ln k-1+\frac{\ln\ln k-2}{\ln k}\right)</math> para ''k'' ≥ 198
A good evidence that RH could be true comes from the fact proposed by [[Alain Connes]] and others, that if we differentiate V. Mangoldt formula respect to x make ''x'' = exp(''u'') manipulating we have the formula we have the "Trace formula" for the exponential of the Hamiltonian operator satisfying
: <math> \zetapsi(1/2+ip_k)\le k\hat H )|nleft( \geln k+\zeta(ln\ln k-1/2+iE_\frac{n\ln\ln k-2}{\ln k}\right)=0, + 1.43\sqrt x</math> para ''k'' ≥ 198
:<math>|\vartheta(x)-x|\le0.006788\frac{x}{\ln x}</math> para ''x'' ≥ 10,544,111
:<math> \sum_{n}e^{iu E_{n}}=Z(u)=e^{u/2}-e^{-u/2} \frac{d\psi _{0}}{du}-\frac{e^{u/2}}{e^{3u}-e^{u}} = \operatorname{Tr}(e^{iu\hat H }). </math>
:<math>|\psi(x)-x|\le0.006409\frac{x}{\ln x}</math> para ''x'' ≥ exp(22)
Where the "trigonometric sum" can be considered to be the trace of the operator ([[mecánica estadística]]) <math> e^{iu \hat H} </math>,which is only true if <math> \rho =1/2+iE(n) </math> .
:<math>\psi(x)-\vartheta(x)<0.0000132\frac{x}{\ln x}</math> para ''x'' ≥ exp(30)
Using the [[aproximación semiclásica]] the potential of H=T+V satisfies:
Estas anteriores, junto con <math>\psi(x)\ge \vartheta(x)</math>, proveen una buena caracterización de estas dos funciones.
:<math> \frac{Z(u)u^{1/2}}{\sqrt \pi }\sim \int_{-\infty}^{\infty}e^{i (uV(x)+ \pi /4 )}\,dx </math>
== Aplicación a la formulación variacional ==
with ''Z''(''u'') → 0 as ''u'' → ∞.
== Función suavizante ==
[[Archivo:Chebyshev-smooth.svg|thumb|right|The smoothed Chebyshev function <math>\psi_1(x)-x^2/2</math>, for <math>x < 10^6</math>]]
La '''Función Suavizante''' está definida como
:<math>\psi_1(x)=\int_0^x \psi(t)\,dt.</math>
Se puede demostrar que
:<math>\psi_1(x) \sim \frac{x^2}{2}.</math>
== Variational formulation ==
La Función de Chebyshov evaluada en ''x'' = exp(''t'') minimiza el funcional
== Enlaces externos ==
* {{mathworld|urlname=ChebyshevFunctions|title=Chebyshev functions}}
* {{planetmathref|id=4020|title=Mangoldt summatory function}}
* {{planetmathref|id=4573|title=Chebyshev functions}}
* [http://www.math.ucsb.edu/~stopple/explicit.html Riemann's Explicit Formula], with images and movies
[[Categoría:Funciones aritméticas]]
[[Categoría:Teoría de números]]
[[en:Chebyshev function]]
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