Diferencia entre revisiones de «Espacio conexo por caminos»

Para <math>C \subset X </math>, la definición de conexidad por caminos es la misma que antes, sólo que ahora pidiendo que cada par de puntos en <math>C</math> puedan ser conectados por una curva continua contenida en <math>C </math>. Esta definición es equivalente a pedir que <math>C</math>, dotado de la [[topología traza]], sea un espacio conexo por caminos.

 

Se cumple que todo espacio conexo por caminos es también [[Conjunto conexo|conexo]], sin embargo, la conversa no es cierta, es decir, existen espacios conexos que no son conexos por caminos; y para encontrar un ejemplo no hay que buscar en ningún espacio demasiado extraño, pues en <math>\mathbb{R}^2</math> ya encontramos un ejemplo: la adherencia del gráfico de la función <math>sin(1/x)</math>, es decir, el conjunto: <math>G=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x\in (0,1), y=sin(1/x)\}\cup \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x=0, y\in [-1,1]\}</math>

Como el gráfico de la función por si solo es conexo, su adherencia también (esa propiedad siempre se cumple para conjuntos conexos). Sin embargo, es claro que nunca podremos conectar por un camino continua un punto del grafo con un punto del trozo del eje y tomado.