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Diferencia entre revisiones de «Grupo de renormalización»

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El '''grupo de renormalización''' (RG, por sus siglas en inglés) es una técnica usada en [[física matemática]] para realizar cálculos sobre sistemas con un gran número de elementos simples en interacción. Es especialmente importante en [[teoría cuántica de campos]] y [[física estadística]].
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El '''Grupo de Renormalización''' (RG) es un concepto de [[física matemática]] útil para hacer cálculos útiles mediante series perturbativas en sistemas cuánticos con un número infinito de grados de libertad, más concretamente, los [[teoría cuántica de campos|campos cuánticos]].
Existen dos formas alternativas de entender dichas técnicas:
 
* Consideremos una agrupación de los elementos simples en bloques, cada uno de los cuales será considerado un nuevo ''elemento simple''. En ocasiones es posible desarrollar una teoría sobre el comportamiento de estos nuevos elementos simples sin hacer referencia a los antiguos. En este caso se habla de una ''teoría renormalizada'', en la que el número de elementos a considerar será, sin duda, menor.
 
* Muchas teorías contienen un parámetro que especifica la escala espacial mínima a considerar. Un aumento de dicho parámetro sería equivalente a observar la teoría con menor resolución espacial. En ocasiones, dicho aumento da lugar a una nueva teoría del mismo tipo que la anterior, que llamamos también ''teoría renormalizada''.
 
Ambos tipos de descripción son equivalentes.
 
==Historia==
En el año 1966, cuando la técnica era ya empleada normalmente en física de [[partículas elementales]], [[Leo P. Kadanoff]] desarrolló la explicación que resulta más intuitiva del mismo, y que sirvió para dar un nuevo impulso a sus aplicaciones. El RG, según Kadanoff, se basa en el concepto de '''bloque'''. ▼
 
El término ''grupo de renormalización'' (RG) aparece en el año 1953 en un artículo de Peterman y Stueckelberg, y en 1954 en otro de [[Murray Gell-Mann|Gell-Mann]] y Low, en el contexto de la física de [[partículas elementales]]. En estos primeros trabajos, el RG era fundamentalmente un truco matemático para eliminar divergencias de los cálculos perturbativos.
Imaginemos un plano en el que hay situados <math>N\times N</math> átomos, formando una cuadrícula o rejilla bidimensional. Ahora consideremos la posibilidad de agruparlos, o encapsularlos mentalmente, en bloques de <math>2\times 2</math> átomos y sustituir cada bloque por un átomo "gordo". El nuevo sistema de átomos gordos tendrá 4 veces menos átomos que el anterior. La transformación anterior se conoce como una transformación de grupo de renormalización (RGT). Podemos iterarla, y el número de ''átomos'' efectivo se divide por 4 cada vez. ▼
 
▲En el año 1966, cuando la técnica era ya empleada normalmente en física de [[partículas elementales]], [[Leo P. Kadanoff]] desarrolló la explicación que resulta más intuitivamoderna del mismo, y que sirvió para dar un nuevo impulso a sus aplicaciones. El RG, según Kadanoff, se basa en el concepto de '''bloque'''.
¿Para qué podríamos querer realizar esta transformación? Imaginemos que la dinámica del sistema formado por átomos "gordos" pueda describirse mediante una interacción "efectiva" entre éstos. Es probable que sea más fácil resolver el sistema de <math>N^2/4\,</math> que el sistema original de <math>N^2\,</math>. Y si repetimos el algoritmo hasta que sólo nos quede un átomo "gordísimo", entonces la solución del sistema total será trivial. Pero, ¿hay sistemas físicos reales que se comporten así? De manera exacta, la respuesta es «no». Pero de manera aproximada podríamos decir que la inmensa mayoría de los sistemas son así, si uno sabe elegir bien cuáles son los átomos "gordos". ▼
 
 
==El concepto de bloque==
 
▲ImaginemosConsideremos un plano en el que hay situados <math>N\times N</math> átomos, formando una cuadrícula o rejillared bidimensional. AhoraProcedamos consideremosahora la posibilidad dea agruparlos, o encapsularlos mentalmente, en bloques de <math>2\times 2</math> átomos y sustituir cada bloque por un átomo "''gordo"'' o ''renormalizado''. El nuevo sistema de átomos gordosrenormalizados tendrá 4 veces menos átomos que el anterior. La transformación anteriorantedicha se conoce como una transformación de grupo de renormalización (RGT). Podemos iterarla, y el número de ''átomos efectivos'' efectivo se dividedividirá por 4 cada vez.
 
▲¿Para qué podríamos querer realizar esta transformación? Imaginemos que la dinámica del sistema formado por átomos "gordos"renormalizados pueda describirse mediante una interacción "efectiva" entre éstos. Es probable que sea más fácil resolver el sistema de <math>N^2/4\,</math> átomos que el sistema original de <math>N^2\,</math>. Y si repetimosse repite el algoritmo hasta que sólo nos quede un único átomo "gordísimo"renormalizado, entonces la solución del sistema total será trivial. Pero, ¿hayexisten sistemas físicos reales que se comporten así? De manera exacta, la respuesta es «no». Pero de manera aproximada podríamosse puede decir que la inmensa mayoría de los sistemas son así, si unose sabeelige elegircon bieninteligencia cuálesla sonestructura de los átomos "gordos"renormalizados.
 
==Formalización==
En términos más formales, podemosse puede decir que una RGT es una transformación abstracta de uno de los dos tipos siguientes:
 
* En un sistema discreto cuyo estado viene dictado por <math>S\equiv \{s_1, s_2, \cdots, s_N\}</math> y una función ''dinámica'' <math>H(S)\,</math>, que puede ser un hamiltoniano, una función de partición... Tras un cierto agrupamiento, tenemos un estado <math>\tilde{S}</math> con un número <math>M<N\,</math> de variables menor, y una función dinámica "efectiva" entre ellas <math>\tilde H(\tilde S)</math>.
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==Flujo de Renormalización==
 
ElSea casouna másteoría favorable''renormalizables'', es eldecir, deen lasla teoríasque llamadasse '''renormalizables'''puede proceder a realizar la transformación anterior de manera exacta. SupongamosConsideremos unaque la función dinámica que lo describe contenga una serie de parámetros (no dinámicos): <math>G\equiv\{g_1,\cdots,g_N\}</math>. Si la función dinámica renormalizada es, aproximadamente, una teoría contiene la misma dependencia funcional decon respecto a las variables dinámicas pero con unos valores distintos para los parámetros, entonces se dirá que el conjunto de las RGT induce un flujo en <math>G</math>, llamado '''flujo de renormalización'''. El estudio de los [[punto fijo (matemáticas)|puntos fijos]] de dicha transformación puede servir para analizar los diferentes tipos de comportamiento cualitativamente diferentes del sistema, es decir: sus [[fase (física)|fases]].
 
==Técnicas de Grupo de Renormalización==
 
* Teoría de Perturbaciones Renormalizada (RPT)▼
Existe un gran número de técnicas en [[física matemática]] inspiradas en la idea básica del RG. Como ejemplo, citamos:
 
▲* Teoría de Perturbaciones Renormalizada ([[RPT]])
* Grupo de Renormalización à la Wilson.
* Grupo de Renormalización de la Matriz Densidad ([[DMRG]]).
 
==Historia del Grupo de Renormalización==
 
 
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