Diferencia entre revisiones de «Función gamma incompleta»
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:<math>Q(a,x)=\frac{\Gamma(a,x)}{\Gamma(a)}=1-P(a,x)</math>
==Derivados==
La derivada de la función gamma incompleta <math> \Gamma (a,x) </math> en ''x'' es bien conocida. Es dado simplemente por el integrando de su definición completa:
:<math>
\frac{\partial \Gamma (a,x) }{\partial x} = - x^{a-1} e^{-x}
</math>
La derivada con respecto a la parámetro ''a'' viene dada por<ref>K.O Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore y T.C. Scott, ''Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions'', AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp.149-165, [http://www.springerlink.com/content/t7571u653t83037j/]
</ref>
:<math> \frac{\partial \Gamma (a,x) }{\partial a} = \ln (x) \Gamma (a,x) + x ~T(3,a,x) </math>
y la segunda derivada es:
:<math> \frac{\partial^2 \Gamma (a,x) }{\partial a^2} = \ln^2 (x) \Gamma (a,x) + 2 x ~ ( \ln (x) ~ T(3,a,x) + T(4,a,x) ) </math>
donde la función "T(m,a,x)" es un caso especial de Meijer función G
:<math> T(m,a,z) = G_{m-1, m}^{~m,~0} \left( x \left| \begin{array}{c} 0,0, \ldots 0 \\ -1, -1, \ldots, a-1, -1 \end{array} \right. \right) ~.
</math>
Este caso tiene propiedades internas de cierre de los suyos, dado que puede expresar ''todas'' las derivadas sucesivas. En general,
:<math> \frac{\partial^m \Gamma (a,x) }{\partial a^m} = \ln^m (x) \Gamma (a,x) + m x ~ \sum_{i=0}^{m-1} P_i^{m-1} \ln^{m-i-1} (x) ~ T(3+i,a,x) </math>
dónde
:<math>
P_j^i = \left( \begin{array}{l} i \\ j \end{array} \right) j! = \frac{i!}{(i-j)!} ~ .
</math>
Todos estos derivados pueden ser producidos a partir de:
:<math> \frac{\partial T (m,a,x) }{\partial a} = \ln (x) ~ T(m,a,x) + (m-1) T(m+1,a,x) </math>
y
:<math> \frac{\partial T (m,a,x) }{\partial x} = -\frac{1}{x} (T(m-1,a,x) + T(m,a,x)) </math>
Esta función ''T(m,a,x)'' se puede calcular por su representación estándar, siempre que :<math> |z| < 1 </math>,
:<math> T(m,a,z) = - \frac{(-1)^{m-1} }{(m-2)! } \frac{d^{m-2} }{dt^{m-2} } \left. (\Gamma (a-t) z^{t-1} ) \right]_{t=0} + \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i z^{a-1+i}}{i! (-a-i)^{m-1} } </math>
y siempre que el parámetro ''a'' no es un número entero negativo o cero. En este último caso, se debe utilizar un límite. Resultados de <math> |z| \ge 1 </math> Se puede obtener por una [[Extensión analítica|extensión analítica]]. Algunos casos especiales de esta función se puede simplificar. Por ejemplo,
:<math> T(2,a,x) = \frac{\Gamma(a,x)}{x} </math>
:<math> x ~ T(3,1,x) = E_1 (x) </math>
donde <math> E_1 (x) </math> es la función exponencial integral. Los derivados y la función ''T(m,a,x)'' proporcionar soluciones exactas a un número de integrales por la diferenciación repetido de la definición completa de la función gamma incompleta <math> \Gamma (a,x) </math>. Por ejemplo,
:<math>
\int_{x}^{\infty} t^{a-1} \ln^m (t) ~ e^{-t} = \frac{\partial^m}{\partial a^m} \int_{x}^{\infty} t^{a-1} e^{-t} = \frac{\partial^m}{\partial a^m} \Gamma (a,x)
</math>
Esta fórmula se puede "inflar" o más generalizado a una gran clase de la [[Transformada de Laplace|transformada de Laplace]] o de [[Transformada de Mellin|Mellin]]. Una vez combinado con un [[Sistema algebraico computacional|sistema algebraico computacional]], funcionamiento de las funciones especiales proporciona un método poderoso para resolver integrales definidas, en particular los que se enfrentan los ingenieros de aplicaciones prácticas. Este método fue inventado por el sistema [[Maple (software)|Maple]]<ref>K.O. Geddes y T.C. Scott, ''Recipes for Classes of Definite Integrals Involving Exponentials and Logarithms'', Proceedings of the 1989 Computers and Mathematics conference, (MIT 12 de junio, 1989), editado por E. Kaltofen y S.M. Watt, Springer-Verlag, New York, (1989), pp. 192-201. [http://portal.acm.org/citation.cfm?id=93094]</ref> y, más tarde imitada por [[Mathematica]], [[MuPAD]] y otros sistemas. La función "T(m,a,x)" era conocido en el grupo de investigación de arce como una función de Scott-G.
== Notas ==
<references/>
==Enlaces externos==
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