Diferencia entre revisiones de «Teorema de Abel-Ruffini»
Contenido eliminado Contenido añadido
m robot Añadido: ja, sl Eliminado: zh Modificado: fi |
m robot Modificado: tr:Abel teoremi; cambios triviales |
||
Línea 9:
El contenido de este problema es generalmente mal entendido:
# El teorema ''no'' afirma que las ecuaciones polinómicas de grado cinco o superior no tengan soluciones o que no puedan ser resueltas. De hecho, si la ecuación polinómica tiene coeficientes [[Número real|reales]] o [[Número complejo|complejos]] y permitimos soluciones complejas, entonces cualquier ecuación polinomial tiene soluciones; éste es el [[
# El teorema solo se refiere a la forma que una solución debe tomar. El contenido del teorema es que la solución de una ecuación de grado cinco o superior no puede siempre ser expresada comenzando por los coeficientes y usando solo finitamente las operaciones de [[
# El teorema es falso para ecuaciones de grados inferiores a cinco. Por ejemplo, las soluciones de la [[ecuación de segundo grado]] ''ax<sup>2</sup> + bx + c = 0'' pueden ser expresadas en términos de adición, multiplicación y extracción de raíces como:
#: <math>x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}.</math>
#: Formas análogas para las ecuaciones polinómicas de [[Ecuación de tercer grado|tercer]] y [[Ecuación de cuarto grado|cuarto grado]], usando raíces cúbicas y cuartas, han sido conocidas desde el siglo XVI.
# Para grados superiores o iguales a cinco, el teorema especifica que no puede resolverse por radicales cualquier ecuación pero hay ecuaciones particulares que sí pueden resolverse por radicales. Así, el [[teorema de Saüch-Ruffini]] dice que hay algunas ecuaciones de quinto grado cuya solución no puede ser expresada de ese modo como por ejemplo la ecuación 'x''<sup>5</sup> - ''x'' + 1 = 0 ''. Sin embargo, algunas otras ecuaciones de quinto grado pueden ser resueltas mediante radicales, por ejemplo ''x''<sup>5</sup> - ''x''<sup>4</sup> - ''x'' + 1 = 0.
# El criterio preciso que separa aquellas ecuaciones que pueden ser resueltas mediante radicales de aquellas que no fue dado por [[Évariste Galois]] y es parte de la [[Teoría de Galois]]: una ecuación polinómica puede ser resuelta mediante radicales si y sólo si su [[
== Demostración ==
Línea 21:
La siguiente prueba esta basada en la [[Teoría de Galois]]. Uno de los teoremas fundamentales de la teoría de Galois dice que una ecuación se puede resolver en radicales si, y solo si tiene un [[Grupo de Galois]] que se puede resolver, entonces la prueba del teorema de Abel-Ruffini viene de computar el grupo de Galois del polinomio general de quinto grado.
Sea <math>y_1</math> un [[
:<math>
f(x) = (x - y_1)(x - y_2)(x - y_3)(x - y_4)(x - y_5) \in E[x].
</math>
[[Categoría:Teoremas de álgebra|Abel ruffini]]
Línea 41 ⟶ 40:
[[ru:Теорема Абеля — Руффини]]
[[sl:Abel-Ruffinijev izrek]]
[[tr:Abel
|