Diferencia entre revisiones de «Punto del infinito»

Es decir, que en <math>\overline{\mathbb{R}}</math> se escribe también <math>\lim_{n \to \infty}x_n = \infty</math>. Sin embargo, sólo en <math>\overline{\mathbb{R}}</math> se puede decir que la sucesión <math>x_n \, </math> converge, puesto que <math>\infty\notin \mathbb{R}</math>.

El punto del infinito también puede añadirse al [[plano complejo]], <math>\mathbb{C}^1</math>, de manera que se transforme en una superficie cerrada, la recta proyectiva compleja, <math>\mathbb{C}P^1</math>, también llamada [[esfera de Riemann]], una esfera sobre el plano complejo y desde cuyo polo superior se proyectan el resto de puntos de la esfera sobre el plano complejo. De este modo, se establece una [[biyectividad]] en la que a cada punto de la esfera le corresponde uno del plano complejo. El homólogo del punto desde el que [[Proyección estereográfica|proyectamos estereográficamente]] se convierte en el punto del infinito.

Al igual que dos rectas secantes comparten un punto, dos rectas paralelas comparten una dirección, por lo que a esas direcciones también se las conoce como puntos impropios de esas rectas en las que se encuentran. Por ejemplo, en <math>\mathbb R^2</math> no es posible determinar con exactitud la posición del punto del infinito mediante unas coordenadas absolutas <math>(x,y) \, </math>. Para conseguirlo, se acude a las [[coordenadas homogéneas]] <math>(x', y', w) \, </math>, donde <math>x' \, </math> e <math>y' \, </math> representan la dirección del vector director de la recta. Las anteriores [[coordenadas absolutas]] <math>(x, y) \, </math> vienen dadas por:

El punto <math>(4, 6) \, </math> podría representarse, por ejemplo, como <math>(8, 12, 2) \, </math> o como <math>(2, 3, \tfrac{1}{2})</math>. La representación del punto del infinito se obtiene igualando <math>w = 0</math>, así:

<math>(x', y', 0) \, </math>

El punto del infinito del eje OX sería el <math>(1, 0, 0) \, </math>, el <math>(2, 0, 0) \, </math>, etc.