|
Específicamente, un '''módulo izquierdo''' sobre el [[anillo (matemática)|anillo]] ''R'' consiste en un [[grupo abeliano]] (''M'', +) y una operación ''R'' × ''M'' → ''M'' (multiplicación escalar, generalmente escrita sólo por yuxtaposición, es decir como ''rx'' para ''r'' en ''R'' y ''x'' en ''M'') tal que
chupamenef
fdg
Para todo ''r'', ''s'' en ''R'', ''x'', ''y'' en ''M'', tenemos
fdg
# (''rs'')''x'' = ''r''(''sx'')
dfg
# (''r''+''s'')''x'' = ''rx''+''sx''
g
# ''r''(''x''+''y'') = ''rx''+''ry''
fd
# 1''x'' = ''x''
g
ba
Generalmente, escribimos simplemente "un R - módulo ''izquierdo'' ''M''" o <sub>''R''</sub>''M''.
gw
4t la derecha y se llaman simplemente ''R''-módulos.
Algunos autores{{Plantilla:cita requerida|cita requerida}} omiten la condición 4 en la definición general de módulos izquierdos, y llaman a las estructuras definidas antes "módulos izquierdos unitales". En este artículo sin embargo, todos los módulos (y todos los anillos) se presuponen unitales. Por lo general, para módulos, en la mayoría de los textos se consiera la condición 4, mientras que para anillos no se supone que exista elemento unidad, excepto que se diga lo contrario.
Un '''R''' '''módulo derecho''' ''M'' o ''M''<sub>''R''</sub> se define de forma semejante, sólo que el anillo actúa por la derecha, es decir tenemos una multiplicación escalar de la forma ''M'' × ''R'' → ''M'', y los tres axiomas antedichos se escriben con los escalares ''r'' y ''s'' a la derecha de ''x'' e ''y''.
Si ''R'' es [[Conmutatividad|conmutativo]], entonces los ''R''-módulos a la izquierda son lo mismo que ''R''-módulos a la derecha y se llaman simplemente ''R''-módulos.
== Ejemplos ==
*Si ''K'' es un [[Cuerpo (matemática)|cuerpo]], entonces los conceptos "''K''-[[espacio vectorial]]" y ''K''-módulo son idénticos.
*Sitiunvyt9 ''R''y985yrt8wynfq esytgnvhiue cualquier anillo y ''n'' un [[número natural]jodtghkvyrbtgurruyguhryfghurydfhgiuyfhduigyhrdfucghusfydhgiurfydhgivuryfhdgiuvtrhfdiugyhvwtirfudngvitrnfdgjvnfjgshjhr], entonces el [[producto cartesiano]] ''R''<sup>''n''</sup> es un módulo izquierdo y derecho sobre ''R'' si utilizamos las operaciones componente a componente. El caso ''n'' = 0 da el trivial ''R''-módulo {0} que consiste solamente en el elemento identidad (aditiva). ▼
*Cada grupo abeliano ''M'' es un módulo sobre el anillo de los [[número entero|números enteros]] '''Z''' si definimos ''nx'' = ''x'' + ''x'' +... + ''x'' (''n'' sumandos) para ''n'' > 0, 0 ''x'' = 0, y (- ''n'') ''x'' = - (''nx'') para ''n'' < 0.
▲*Si ''R'' es cualquier anillo y ''n'' un [[número natural]], entonces el [[producto cartesiano]] ''R''<sup>''n''</sup> es un módulo izquierdo y derecho sobre ''R'' si utilizamos las operaciones componente a componente. El caso ''n'' = 0 da el trivial ''R''-módulo {0} que consiste solamente en el elemento identidad (aditiva).
*Si ''X'' es una [[variedad]] diferenciable, entonces las funciones diferenciables de ''X'' a los [[número real|números reales]] forman un anillo ''R''. El conjunto de todos los [[Campo vectorial|campos vectoriales]] diferenciables definidos en ''X'' forman un módulo sobre ''R'', y lo mismo con los [[campo tensorial|campos tensoriales]] y las [[forma diferencial|formas diferenciales]] en ''X''.
| 