Diferencia entre revisiones de «Orden total»
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La propiedad de totalidad de esta relación se puede también describir como que todo par de elementos son [[Comparabilidad|comparables]] bajo la relación.
Por tanto, un '''orden total''' es un [[Conjunto parcialmente ordenado|orden parcial]] que cumple la [[
Un conjunto dotado de un orden total se denomina '''conjunto totalmente ordenado''', '''linealmente ordenado''', '''simplemente ordenado''', o '''cadena'''.
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== Orden total estricto ==
Para cada orden total (no estricto) ≤ hay asociada una [[relación asimétrica]] (y por tanto irreflexiva) <, llamada '''orden total estricto''', que puede definirse de dos maneras equivalentes:
* ''a'' < ''b'' [[ssi]] ''a'' ≤ ''b'' y ''a'' ≠ ''b''.
* ''a'' < ''b'' ssi no ''b'' ≤ ''a'' (i.e., < es la inversa del complemento de ≤).
El orden total estricto tiene las siguientes propiedades, para cualesquiera ''a'', ''b'', y ''c'' en ''X'':
* Es transitivo: ''a'' < ''b'' y ''b'' < ''c'' implica ''a'' < ''c''.
* Es [[tricotomía|tricotómico]]: exactamente una de ''a'' < ''b'', ''b'' < ''a'', y ''a'' = ''b'' es válida.
* Es un [[preorden total]].
Se puede trabajar a la inversa tomando < como una relación binaria transitiva y tricotómica; en ese caso, un orden total no estricto ≤ se puede definir de dos maneras equivalentes:
* ''a'' ≤ ''b'' ssi ''a'' < ''b'' o ''a'' = ''b''.
* ''a'' ≤ ''b'' ssi no ''b'' < ''a''.
Otros dos órdenes asociados son los complementos ≥ y >, completando así el conjunto {<, >, ≤, ≥}. Se puede definir o explicar el orden total de un conjunto usando cualquiera de las cuatro relaciones; la notación dejará en claro si se habla de un orden estricto o no.
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* El [[orden lexicográfico]] en el [[producto cartesiano]] de cualquier colección de conjuntos totalmente ordenados es en sí mismo un orden total. Por ejemplo, cualquier conjunto de palabras con el orden alfabético usual está totalmente ordenado, visto como un subconjunto del producto cartesiano de un conjunto finito de símbolos, el alfabeto con un espacio vacío (que se define menor que cualquier letra), un número contable de veces.
* Los ''[[número natural|naturales]]'', ''[[número entero|enteros]]'', ''[[número racional|racionales]]'' y los ''[[número real|reales]]'', con el orden usual de las relaciones [[inecuación|< o >]], son conjuntos bien ordenados. Cada uno de ellos es un caso único (módulo isomorfismo) y ''mínimo'' de conjunto totalmente ordenado con alguna propiedad (un conjunto totalmente ordenado ''A'' es el ''mínimo'' con cierta propiedad si, para todo conjunto ''B'' con la propiedad, hay un isomorfismo de orden entre ''A'' y un subconjunto de ''B''):
** Los '''naturales''' forman el mínimo conjunto totalmente ordenado sin [[cota superior]].
** Los '''enteros''' forman el mínimo conjunto totalmente ordenado sin cota superior ni [[cota inferior|inferior]].
** Los '''racionales''' forman el mínimo conjunto totalmente ordenado sin cota superior ni inferior que además es ''denso'', es decir, que para cualesquiera ''a'' y ''b'' con ''a'' < ''b'', existe un ''c'' tal que ''a'' < ''c'' < ''b''.
** Los '''reales''' son el mínimo conjunto totalmente ordenado no acotado y [[conjunto conexo|conexo]] (véase más adelante la definición de la topología).
== Topología del orden ==
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