Diferencia entre revisiones de «Espacio compacto»

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#PIF: Si <math>\{F_i\}_{i\in I}</math> es una familia de cerrados en <math>X</math> tal que <math>\cap_{finitos} F_i \neq\emptyset</math>, entonces <math>\cap_{todos} F_i \neq\emptyset</math>.
# Toda [[Red (matemática)|red]] en <math>X</math> admite una subred convergente.
# La función al punto <math>X\to\ast</math> es [[morfismo propio|propia]].
 
 
== AlgunasTeorema Propiedadesde Arzelá-Ascoli ==
Se cumple que si <math>X</math> es variedad afín, entonces <math>K</math> será conexo por caminos. Se cumple además que todo subconjunto acotado de un precompacto será también paracompacto.
 
Si se tiene que <math>(X,d)</math> es un [[espacio métrico]], entonces, para <math>K\subset X</math>, las siguientes proposiciones son todas equivalentes:
 
 
Además, se tiene que <math>K</math> será siempre cerrado y acotado.
 
El [[teorema de Heine-Borel]] da una caracterización útil en los [[espacios vectoriales normados]] de dimensión finita: <math>K</math> es compacto si y solo si es cerrado y acotado. Sin embargo, en dimensión infinita, esto no es verdad, y, de hecho, en este contexto la bola unitaria cerrada jamás será compacta; por lo mismo, es mucho más difícil verificar compacidad. Un resultado importante en los espacios de funciones continuas es el [[teorema de Arzelá-Ascoli]].
 
== Importancia de los Conjuntos Compactos ==
Los conjuntos compactos tienen gran importancia en diversos resultados del análisis, siendo uno de los más importantes el [[teorema de Weierstrass]]: toda función real continua definida sobre un espacio compacto alcanza su máximo y su mínimo.
 
Otro resultado importante es el [[teorema de Heine]], que indica que toda función continua cuyo dominio sea un conjunto compacto, será [[Continuidad uniforme|uniformemente continua]].
 
== Véase también ==
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