En [[matemáticasmatemática]], el '''criterio de Eisenstein''' proporciona la [[condición suficiente]] para que un [[polinomio]] sea [[polinomio irreducible|irreducible]] sobre '''[[números racionales|Q]]''' (o, de forma equivalente, sobre '''[[números enteros|Z]]''').
Si tenemos el siguiente [[polinomio]] con [[coeficiente]]s [[entero]]s
Línea 32:
==Prueba elemental==
Considérese ''f''(''x'') como un polinomio módulo ''p''; esto es, redúzcanse los coeficientes al [[Campocuerpo (matemáticasmatemática)|campocuerpo]] '''Z'''/''p'''''Z'''. Entonces será ''c''.''x''<sup>''n''</sup> para una constante ''c'' distinta de cero. Dado que dichos polinomios tienen una factorización única, cualquier factorización de ''f'' mod ''p'' resultará en [[monomio]]s. Ahora, si ''f'' no fuese irreducible como polinomio entero, podríamos escribirlo como ''g''.''h'', y ''f'' mod ''p'' como el producto de ''g'' mod ''p'' y ''h'' mod ''p''. Estos últimos deben ser monomios, como acabamos de afirmar, por lo que tendremos que ''g'' mod ''p'' es ''d''.''x''<sup>''k''</sup> y ''h'' mod ''p'' es ''e''.''x''<sup>''n''-''k''</sup> donde ''c'' = ''d''.''e''.
Vemos ahora que las condiciones dadas sobre ''g'' mod ''p'' y ''h'' mod ''p'' significan que ''p''<sup>2</sup> dividirá a ''a''<sub>0</sub>, lo que contradice nuestra hipótesis. De hecho ''a''<sub>0</sub> será ''g''(0).''h''(0) y ''p'' divide a ambos factores, como hemos dicho más arriba.
