Diferencia entre revisiones de «Mecánica lagrangiana»

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La formulación lagrangiana simplifica considerablemente muchos problemas físicos. Por ejemplo, los sistemas de [[sistema inercial|referencia inerciales]] son tratados en pie de igualdad y a diferencia de las [[leyes de Newton]] la forma de las ecuaciones del movimiento no depende del [[sistema de referencia]] elegido.
 
== Motivación ==
La utilidad de la formulación lagrangiana se aprecia incluso en ejemplos sencillos. Por ejemplo, considere una cuenta en un aro. Si se calculara el movimiento de la cuenta usando la mecánica newtoniana, se obtendría un sistema complicado de ecuaciones que considerarían las fuerzas que el aro ejerce en la cuenta en cada instante.
 
Los dos problemas considerados anteriormente son mucho más sencillos de resolver empleando la formulación lagrangiana.
 
== Ecuaciones de Lagrange ==
Las ecuaciones del movimiento en mecánica lagrangiana son las ''ecuaciones de Lagrange'', también conocidas como las [[ecuaciones de Euler-Lagrange]]. Debajo, bosquejamos la derivación de la ecuación de Lagrange de las [[leyes de Newton]] del movimiento. Vea las referencias para derivaciones más detalladas y más generales.
En su forma más general, en que se da un sistema de referencia general con [[coordenadas generalizadas]] (<math>q_1,...,q_N; \dot{q}_1,..., \dot{q}_N</math>) las ecuaciones de Lagrange toman la forma:
{{Ecuación|<math>\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L(q_i(t), \dot{q}_i(t), t)}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L(q_i(t), \dot{q}_i(t), t)}{\partial q_i} = 0</math>||left}}
 
=== Derivación a partir de las leyes de Newton ===
Considere una sola partícula con [[masa]] ''m'' y el vector de posición '''r'''. La [[fuerza]] aplicada, '''F''', si es una '''[[fuerza conservativa]]''' puede ser expresada como el [[gradiente]] de una función potencial escalar ''V''('''r''', ''t''):
{{Ecuación|<math>\mathbf{F} = - \nabla V</math>||left}}
En la práctica, es a menudo más fácil solucionar un problema usando las [[ecuaciones de Euler-Lagrange]] que las leyes de Newton. Esto es porque las coordenadas generalizadas apropiadas ''q''<sub>i</sub> se pueden elegir para aprovechar las simetrías en el sistema.
 
=== Derivación a partir del principio de Hamilton ===
{{AP|Principio de mínima acción}}
La acción, denotada por ''S'', es la integral temporal del lagrangiano:
:<math>S = \int L\,dt</math>
Sean ''q''<sub>0</sub> y ''q''<sub>1</sub> las coordenadas en los instantes inicial y final, ''t''<sub>0</sub> y ''t''<sub>1</sub> respectivamente. Usando el [[cálculo de variaciones]], se puede mostrar que las ecuaciones de Lagrange son equivalentes al ''[[William Rowan Hamilton|Principio de Hamilton]]'':
 
:''el sistema experimenta aquella trayectoria entre t<sub>0</sub> y t<sub>1</sub> cuya acción tiene un valor estacionario.''
 
Por ''estacionario'', significamos que la acción no varía en el primer orden para las deformaciones infinitesimales de la trayectoria, con los puntos límites (''q<sub>0</sub>'', ''t<sub>0</sub>'') y (''q<sub>1</sub>'', ''t<sub>1</sub>'') fijados. El principio de Hamilton se puede escribir como:
 
:δ''S'' = 0
 
Así, en vez de pensar en partículas que aceleran en respuesta a fuerzas aplicadas, uno puede pensar en ellas seleccionando la trayectoria con una acción estacionaria.
 
El principio de Hamilton es conocido, a veces, como ''[[principio de mínima acción]]''. Sin embargo, esto es una impropiedad: la acción sólo necesita ser estacionaria, y la trayectoria correcta se podría producir por un máximo, [[punto de ensilladura]], o mínimo en la acción.
 
== Mecánica lagrangiana en variedades diferenciables ==
La formulación más moderna de la mecánica lagrangiana se realiza con toda generalidad sobre una [[variedad diferenciable]] llamada [[espacio fásico]] Γ que se construye como el [[fibrado tangente]] del llamado [[espacio de configuración]].
 
:<math>\mathcal{L}:\Gamma \to \mathbb{R} \qquad \mathcal{L}(p;\mathbf{v}) = L(q_1,...,q_N; \dot{q}_1, ..., \dot{q}_N) \,</math>
 
== Extensiones de la mecánica lagrangiana ==
El [[hamiltoniano]], denotado por ''H'', es obtenido ejecutando una [[transformación de Legendre]] en el lagrangiano. El hamiltoniano es la base para una formulación alternativa de la mecánica clásica conocida como mecánica hamiltoniana. Es una cantidad particularmente ubicua en la [[mecánica cuántica]].
 
En [[1948]] [[Richard Feynman|Feynman]] descubrió la formulación por [[Integral de caminos (mecánica cuántica)|integral de caminos]] extendiendo el principio de menor acción a la [[mecánica cuántica]]. En esta formulación, las partículas recorren cada trayectoria posible entre los estados iniciales y finales; la probabilidad de un estado final específico es obtenida sumando sobre todas las trayectorias posibles que conduce a él. En el régimen clásico, la formulación por integral de trayectorias reproduce evidentemente el principio de Hamilton.
 
== Referencia ==
* Goldstein, H.: "Mecánica clásica", Ed. Reverté, 1994.
=== Enlaces externos ===
* [http://personales.ya.com/casanchi/fis/lagrange.htm Lagrange]
 
== Véase también ==
* Para un enfoque más moderno, véase [[lagrangiano]].
* [[Teorema de Noether]]
 
== Enlaces externos ==
* [http://forja.rediris.es/frs/download.php/1917/LAG-0_10_1.pdf Introducción a la mecánica lagrangiana] Incluye ejercicios resueltos. Publicado bajo una [[Creative Commons|licencia libre]].
 
[[fr:Équations de Lagrange]]
[[gl:Mecánica lagranxiana]]
[[id:Mekanika LagrangianLagrangean]]
[[it:Meccanica lagrangiana]]
[[ja:ラグランジュ力学]]
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