Diferencia entre revisiones de «Producto de Cauchy»

* Primer ejemplo. Para algunaSean <math>a,b\in\mathbb{R}</math>, sea <math>x_n = a^n/n!\,</math> y <math>y_n = b^n/n!\,</math>. Entonces

por definición y por la [[teorema del binomio|fórmula binomial]]. Dado que, [[serie de potencias formal|formalmente]], <math>\exp(a) = \sum_{n=0}^{\infty} x_n</math> y <math>\exp(b) = \sum_{n=0}^{\infty} y_n</math>, se ha demostrado que <math>\exp(a+b) = \sum_{n=0}^{\infty} C(x,y)(n)</math>. Como el límite del producto de Cauchy de dos series [[convergencia|absolutamente convergentes]] es igual al producto de los límites de esas series (véase [[Producto de Cauchy#Convergencia y teorema de Mertens|debajo]]), se ha demostrado por lo tanto la fórmula <math>\exp(a+b) = \exp(a)\exp(b)</math> para todo <math>a,b\in\mathbb{R}</math>.