Diferencia entre revisiones de «Análisis funcional»
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Los espacios de Hilbert pueden ser clasificados totalmente: hay un espacio único de Hilbert módulo [[isomorfismo]] para cada [[número cardinal|cardinal]] de la base (hilbertiana). Puesto que los espacios de Hilbert finito-dimensionales se entienden completamente en [[álgebra lineal]], y puesto que los morfismos de los espacios de Hilbert se pueden dividir siempre en morfismos de espacios con dimensionalidad [[Lista de números#Números transfinitos|alef-0]] (<math>\aleph_0</math>), análisis funcional de Hilbert trata sobre todo con el espacio único de Hilbert de dimensionalidad alef-0, y sus morfismos.
Los espacios de Banach generales son mucho más complicados que los espacios de Hilbert. Dado que un espacio de Banach es un espacio vectorial, una base es un sistema de generadores linealmente independiente. Este concepto, cuando la dimensión no es finita, suele carecer de utilidad; lo sustituye el de conjunto fundamental. Un conjunto de vectores es fundamental si la clausura topológica del subespacio vectorial que engendra es el espacio completo. Dado que un vector pertenece a su clausura topológica si es el límite de una sucesión de vectores del subespacio vectorial engendrado, descubrimos que, en caso de disponer de un conjunto fundamental, podemos poner todo vector del espacio como el límite de una sucesión de combinaciones lineales de los vectores de un conjunto fundamental.
Un ejemplo de lo anterior es el teorema de Weierstrass que afirma que toda función real continua en un intervalo compacto puede ser aproximada mediante polinomios. El espacio de Banach es el conjunto de las funciones continuas en un compacto y el conjunto fundamental las potencias enteras del argumento. Este teorema se extiende mediante el teorema de Stone-Weierstrass.
Para cualquier número real ''p'' ≥ 1, un ejemplo de un espacio de Banach viene dado por los [[espacio Lp|espacios L<sup>''p''</sup>]]).
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