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Línea 27: == Ejemplos == * Si ''X'' es cualquier conjunto, la familia {<math> \varnothing </math> ,''X''} es una σ-álgebra sobre ''X'', llamada ''σ-álgebra trivial'' por razones obvias. ,''X''} es una σ-álgebra sobre ''X'', llamada ''σ-álgebra trivial'' por razones obvias. Otra σ-álgebra sobre ''X'' es el [[conjunto potencia\|conjunto de partes]] de ''X''. The collection of subsets of X which are countable or whose complements are countable (which is distinct from the power set of X if and only if X is uncountable). This is the σ-algebra generated by the singletons of X. La familia de subconjuntos de ''X'' que son contables o de conjunto complementario contable (esta familia es distinta del conjunto de las partes de ''X'' si y solo si ''X'' es incontable). Si {Σ<sub>α</sub>} es una familia de σ-álgebras sobre ''X'', la intersección de todos los conjuntos Σ<sub>α</sub> es también una σ-álgebra sobre ''X''. * El [[conjunto potencia\|conjunto de partes]] de ''X''. * La familia de subconjuntos de ''X'' que son contables o de conjunto complementario contable (esta familia es distinta del conjunto de las partes de ''X'' si y solo si ''X'' es incontable). Esta es la σ-álgebra generada por los [[conjunto unitario\|conjuntos unitarios]] de ''X''. * Si {Σ<sub>α</sub>} es una familia de σ-álgebras sobre ''X'', la intersección de todos los conjuntos Σ<sub>α</sub> es también una σ-álgebra sobre ''X''. Si ''U'' es una familia arbitraria de subconjuntos de ''X'', existe una mínima σ-álgebra sobre ''X'' que contiene a ''U'', llamada ''σ-álgebra generada por U''. Ésta se denota por σ(''U''), y se puede construir como sigue: Línea 35 ⟶ 41: * Defínase entonces σ(''U'') como la intersección de todas las σ-álgebras en Φ. Por el párrafo anterior, σ(''U'') es una σ-álgebra sobre ''X''; y por construcción, es la mínima que contiene a ''U''. Esto lleva a lo que tal vez sea el ejemplo más importante: el [[álgebra de Borel]], o boreliana, sobre un [[espacio topológico]] es la σ-álgebra generada por el conjunto de [[conjunto abierto\|conjuntos abiertos]] (o equivalentemente, el conjunto de [[conjunto cerrado\|conjuntos cerrados]]). En general, esta σ-álgebra no es el conjunto de partes, lo cual puede ~~ser demostrado~~demostrarse usando el axioma de elección. En el [[espacio euclídeo]] '''R'''<sup>''n''</sup>, cabe destacar otra ~~posible~~ σ-álgebra: la formada por los conjuntos [[medida de Lebesgue\|Lebesgue-medibles]]. Ésta contiene más conjuntos que el álgebra de Borel en '''R'''<sup>''n''</sup>, y es la que se prefiere en teoría de [[integración]]. == Véase también ==

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