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== Propiedades ==
Los números de Betti Betti ''b''<sub>''k''</sub>(''X'') (racionales), no toman en cuenta la [[Torsión en un subgrupo|torsión]] del grupo de homología, pero son invariantes topológicos muy útiles. En los términos más intuitivos, permiten conter el número de «agujeros» de distintas dimensiones. Para un [[círculo]], el primer número de Betti es 1. Para un pretzel común, el primer número de Betti es el doble del número de agujeros.
En el caso de complejos simpliciales finitos los grupos de homología ''H''<sub>''k''</sub>(''X'', '''Z''') son finitamente generados, por lo que tienen rango finito. También el grupo es 0 cuando ''k'' excede la dimensión tope del simplex de ''X''.
donde <math>\chi(K)</math> denota [[Característica de Euler|la característica de Euler]] de ''K'' y todo campo ''F''.
For any two spaces ''X'' and ''Y'' we have
Para dos espacios ''X'' e ''Y'' se tiene
:<math>P_{X\times Y}=P_X P_Y , \, </math>
wheredonde ''P''<sub>''X''</sub> denotesdenota theel '''Poincarépolinomio polynomialde Poincaré''' ofde ''X'', (moremás generallygeneralmente, thelas [[Poincaré series (modularforma formmodular)|Poincaré series de Poincaré]], forpara espacios de infinite-dimensionaldimensión spacesinfinita), i.e. thela
[[generatingFunción functiongeneradora]] ofde thelos Bettinúmeros numbersde Betti ofde ''X'':
:<math>P_X(z)=b_0(X)+b_1(X)z+b_2(X)z^2+\cdots , \,\!</math>
see véase [[Künnethteorema theoremde Künneth]].
IfSi ''X'' ises una variedad ''n''-dimensional manifold, there ishay symmetrysimetría interchangingintercambiando ''k'' andy ''n'' − ''k'', forpara anytoda ''k'':
:<math>b_k(X)=b_{n-k}(X) , \,\!</math>
underbajo conditionscondiciones (auna variedad ''closedcerrada'' andy ''orientedorientada'' manifold); seevéase [[Dualidad de Poincaré|dualidad dualityde Poincaré]].
The dependence on the field ''F'' is only through its [[characteristic (field)|characteristic]]. If the homology groups are [[torsion (algebra)|torsion-free]], the Betti numbers are independent of ''F''. The connection of ''p''-torsion and the Betti number for [[characteristic p|characteristic ''p'']], for ''p'' a prime number, is given in detail by the [[universal coefficient theorem]] (based on [[Tor functors]], but in a simple case).
La independencia del campo ''F'' es solo a través de su [[Característica (matemática)|característica]]. Si los grupos de homología son [[torsion (algebra)|libres de torsión]], entonces los números de Betti son independientes de ''F''. La conexión de ''p''-torsión y el número de Betti con [[Característica (matemática)|característica ''p'']], para ''p'' un número primo, está dada en detalle por el [[teorema de coeficiente universal]] (basado en los [[Tor functores]], pero en un caso simple).
==Examples==
#The Betti number sequence for a circle is 1, 1, 0, 0, 0, ...;
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