Diferencia entre revisiones de «Número ordinal (teoría de conjuntos)»

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{{otros usos|este=números ordinales en teoría de conjuntos axiomática|Número ordinal|una introducción más básica}}
[[Archivo:Omega-exp-omega.svg|thumb|300px|'''Representación del ordinal ''&omega;ω''<sup>''&omega;ω''</sup>.''' Cada vuelta alrededor de esta [[espiral]] representa una [[potenciación|potencia]] entera de ''&omega;ω'': la primera contiene a los [[números naturales]] 0, 1, 2, ... La segunda llega hasta ''&omega;ω''<sup>2</sup> pasando por cada ordinal ''&omega;ω''&middot;·''m'' + ''n'', con ''m'', ''n'' naturales; la tercera llega hasta ''&omega;ω''<sup>3</sup> pasando por cada ordinal ''&omega;ω''<sup>2</sup>&middot;·''m'' + ''&omega;ω''<sup>2</sup>&middot;·''n'' + ''p''; etc.]]
 
En [[teoría de conjuntos]], un '''número ordinal''', o simplemente '''ordinal''', es un representante del tipo de orden de un [[conjunto bien ordenado]]. De este modo, los ordinales clasifican todos los posibles conjuntos bien ordenados. Fueron introducidos por [[Georg Cantor]] en 1897.
 
Los ordinales finitos (así como los cardinales finitos) son los [[números naturales]] 0, 1, 2,..., puesto que dos órdenes totales de un conjunto finito son [[Isomorfismo de orden|isomorfos en cuanto al orden]]. Al primer ordinal infinito se le denota ''&omega;ω''.
 
En el caso infinito, los ordinales ofrecen una distición más fina que los [[número cardinal (teoría de conjuntos)|cardinales]], que sólo representan la cantidad de elementos. Así, mientras sólo existe un cardinal infinito [[numerable]] <big>&alefsym;</big><sub>0</sub>, existen infinitos ordinales infinitos y numerables:
{{ecuación|<math>\omega,\,\omega+1,\,\ldots\,,\omega\cdot2,\,\omega\cdot2+1,\,\ldots\,,\,\omega^2,\,\ldots\,,\,\omega^\omega,\,\ldots\,,\,\omega^{\omega^\omega},\,\ldots\,,\,\epsilon_0,\,\ldots</math> }}
que se corresponden con distintas maneras de ordenar el conjunto de los números naturales.
En su obra ''Fundamentos para una teoría general de conjuntos'', [[Georg Cantor]] introdujo la idea de los '''números transfinitos''' como una generalización de los [[números naturales]].<ref>Para esta introducción y las citas en ella, véase {{Harvsp|Cantor|2006}}.</ref> Observando la serie de los números naturales:
{{ecuación|<math>0,\,1,\,2,\,3,\,\ldots\,,</math>}}
afirmaba que ésta descansa sobre «el principio de agregar una unidad a un número ya formado y disponible». A este principio, que Cantor denominó "primer principio de generación", se añadía la posibilidad de considerar un nuevo número, ''[[&omega;ω]]'', mayor que todos los números naturales (que por supuesto no es ninguno de ellos), y aplicar de nuevo el primer principio
{{ecuación|<math>0,\,1,\,2,\,3,\,\ldots\,,\,\omega,\,\omega+1,\,\omega+2,\,\omega+3,\,\ldots\,,</math>}}
Esta segunda sucesión de "números" ''&omega;ω'' + ''n'' se prestaba igualmente a considerar un número mayor que toda ella, ''&omega;ω'' + ''&omega;ω'' = ''&omega;ω''&middot;·2. En resumen, Cantor introducía el "segundo principio de generación", el cual
{{cita|[...] dada una determinada sucesión de verdaderos números enteros definidos, entre los cuales no hay ninguno que sea el mayor de ellos, [...] se crea un nuevo número al que se concibe como ''límite'' de aquellos números, esto es, se define como el número inmediatamente mayor que todos ellos.}}
Esta sucesión puede entonces continuarse indefinidamente:
{{ecuación|<math>0,\,1,\,2,\,\ldots\,,\,\omega,\,\omega+1,\,\omega+2,\,\ldots\,,\,\omega\cdot2,\,\omega\cdot2+1,\,\ldots\,,\,\omega\cdot3,\,\dots\,,\,\omega\cdot n,\,\ldots\,,\,\omega\cdot\omega=\omega^2,\,\ldots\,,\,\omega^3,\,\ldots\,,\,\omega^n,\,\ldots\,,\,\omega^\omega,\,\ldots\,,</math>}}
Usando esta serie de [[transfinitos|números transfinitos]], Cantor pudo estudiar los conceptos de [[número cardinal (teoría de conjuntos)|número cardinal]] &mdash;que—que es el "número de elementos" de un conjunto, [[conjunto finito|finito]] o [[conjunto infinito|infinito]]&mdash; y '''número ordinal'''.
 
En efecto, un número natural puede representar no sólo una cantidad de elementos, sino una posición dentro de una serie ordenada: 1.º, 2.º, 3.º, ... Cantor descubrió que estos números transfinitos son en realidad números ordinales, que representan la posición de un elemento dentro de un conjunto [[buen orden|bien ordenado]]; y no sólo eso, sino que además clasifican ''todos los posibles'' conjuntos bien ordenados.
\end{align}</math>
}}
La construcción estándar de los [[números naturales]] en teoría de conjuntos asegura que estos son ordinales. En esta construcción se define el cero como el conjunto vacío 0 &equiv; &empty; = {}, y a partir de ahí, cada número se define como el conjunto que contiene a los anteriores: 1 &equiv; {0}, 2 &equiv; {0, 1}, etc.
 
De la definición dada por Von Neumann puede probarse:
#Esta colección, denotada '''On''', [[Paradoja de Burali-Forti|no es un conjunto]].
#Todo conjunto bien ordenado es isomorfo bajo orden a un único ordinal.
#El conjunto de los números naturales ''&omega;ω'' = {0, 1, 2, ...} es un ordinal (el primer ordinal infinito y límite, ver más abajo).}}
Al (único) ordinal isomorfo a un conjunto bien ordenado ''A'' se le denota por {{overline|''A''}} ó ord(''A'').
 
=== Clasificación ===
Puede demostrarse que si ''<span class="texhtml">α</span>'' es un ordinal, también lo es ''<span class="texhtml">α</span>''&prime; &equiv; ''<span class="texhtml">α</span>'' &cup; {''<span class="texhtml">α</span>''}. Este es el llamado '''ordinal siguiente''' a ''<span class="texhtml">α</span>'', y es el menor ordinal mayor que ''<span class="texhtml">α</span>''. Los ordinales diferentes de cero se dividen en dos clases bien diferenciadas:
{{definición|1=
*Un ordinal '''sucesor''' ''<span class="texhtml">α</span>'' es un ordinal que es el siguiente de algún otro ordinal, ''<span class="texhtml">α</span>'' = ''<span class="texhtml">β</span>''&prime;.
*Un ordinal '''límite''' ''&lambda;λ'' es un ordinal no nulo que no es el ordinal siguiente a ningún otro ordinal.}}
Por ejemplo, todos los números naturales mayores que cero, ''n'' = {0, 1, 2, ..., ''n''-1}, son ordinales sucesores. El ordinal de los números naturales ''&omega;ω'' es un ordinal límite (el primero de ellos).
 
== Inducción transfinita ==
 
Este argumento puede refinarse en el llamado '''principio de inducción transfinita''', separando en casos según el tipo de ordinal:
{{teorema|1=Dada una fórmula &phi;φ(''<span class="texhtml">α</span>''), si se cumple:
*&phi;φ(0) es cierta,
*&phi;φ(''<span class="texhtml">α</span>''&prime;) es cierta siempre que lo es &phi;φ(''<span class="texhtml">α</span>''),
*&phi;φ(''&lambda;λ'') es cierta siempre que &phi;φ(''&gamma;γ'') lo sea para todos los ''&gamma;γ'' < ''&lambda;λ'',
entonces la fórmula es cierta para cualquier ordinal.
}}
donde ''&lambda;λ'' se refiere a un ordinal límite.
 
Una aplicación importante de este principio es la '''recursión transfinita''', que permite definir una [[función matemática|función]] sobre los ordinales, especificando la [[conjunto imagen|imagen]] de un ordinal a partir de las imágenes de sus predecesores:
{{teorema|1=Sean ''X'' un conjunto y ''G'' y ''H'' funciones definidas sobre los conjuntos. Entonces existe una única función definida sobre los ordinales ''F'', tal que:
*''F''(0) = ''X''
*''F''(''<span class="texhtml">α</span>''&prime;) = ''G''(''F''(''<span class="texhtml">α</span>''))
*''F''(''&lambda;λ'') = ''H''(''F''<nowiki>|</nowiki><sub>''&lambda;λ''</sub>)
}}
donde ''F''<nowiki>|</nowiki><sub>''&lambda;λ''</sub> es la [[dominio de definición|restricción]] de ''F'' en ''&lambda;λ''.
 
== Aritmética ordinal ==
*[[Teoría del orden]]
 
== Referencias ==
{{listaref}}
*{{cita libro|apellidos=Cantor|nombre=Georg|título=Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Escritos y correspondencia selecta|enlaceautor=Georg Cantor|año=2006|año-original=1872-1899|editorial=Crítica|isbn=84-8432-695-0|otros=Edición de José Ferreirós}}