Diferencia entre revisiones de «Número ordinal (teoría de conjuntos)»
Contenido eliminado Contenido añadido
m r2.6.4) (robot Añadido: kk:Ординал сан |
m PR:CW: Artículos con <big> |
||
Línea 1:
{{otros usos|este=números ordinales en teoría de conjuntos axiomática|Número ordinal|una introducción más básica}}
[[Archivo:Omega-exp-omega.svg|thumb|300px|'''Representación del ordinal ''
En [[teoría de conjuntos]], un '''número ordinal''', o simplemente '''ordinal''', es un representante del tipo de orden de un [[conjunto bien ordenado]]. De este modo, los ordinales clasifican todos los posibles conjuntos bien ordenados. Fueron introducidos por [[Georg Cantor]] en 1897.
Los ordinales finitos (así como los cardinales finitos) son los [[números naturales]] 0, 1, 2,..., puesto que dos órdenes totales de un conjunto finito son [[Isomorfismo de orden|isomorfos en cuanto al orden]]. Al primer ordinal infinito se le denota ''
En el caso infinito, los ordinales ofrecen una distición más fina que los [[número cardinal (teoría de conjuntos)|cardinales]], que sólo representan la cantidad de elementos. Así, mientras sólo existe un cardinal infinito [[numerable]]
{{ecuación|<math>\omega,\,\omega+1,\,\ldots\,,\omega\cdot2,\,\omega\cdot2+1,\,\ldots\,,\,\omega^2,\,\ldots\,,\,\omega^\omega,\,\ldots\,,\,\omega^{\omega^\omega},\,\ldots\,,\,\epsilon_0,\,\ldots</math> }}
que se corresponden con distintas maneras de ordenar el conjunto de los números naturales.
Línea 13:
En su obra ''Fundamentos para una teoría general de conjuntos'', [[Georg Cantor]] introdujo la idea de los '''números transfinitos''' como una generalización de los [[números naturales]].<ref>Para esta introducción y las citas en ella, véase {{Harvsp|Cantor|2006}}.</ref> Observando la serie de los números naturales:
{{ecuación|<math>0,\,1,\,2,\,3,\,\ldots\,,</math>}}
afirmaba que ésta descansa sobre «el principio de agregar una unidad a un número ya formado y disponible». A este principio, que Cantor denominó "primer principio de generación", se añadía la posibilidad de considerar un nuevo número, ''[[
{{ecuación|<math>0,\,1,\,2,\,3,\,\ldots\,,\,\omega,\,\omega+1,\,\omega+2,\,\omega+3,\,\ldots\,,</math>}}
Esta segunda sucesión de "números" ''
{{cita|[...] dada una determinada sucesión de verdaderos números enteros definidos, entre los cuales no hay ninguno que sea el mayor de ellos, [...] se crea un nuevo número al que se concibe como ''límite'' de aquellos números, esto es, se define como el número inmediatamente mayor que todos ellos.}}
Esta sucesión puede entonces continuarse indefinidamente:
{{ecuación|<math>0,\,1,\,2,\,\ldots\,,\,\omega,\,\omega+1,\,\omega+2,\,\ldots\,,\,\omega\cdot2,\,\omega\cdot2+1,\,\ldots\,,\,\omega\cdot3,\,\dots\,,\,\omega\cdot n,\,\ldots\,,\,\omega\cdot\omega=\omega^2,\,\ldots\,,\,\omega^3,\,\ldots\,,\,\omega^n,\,\ldots\,,\,\omega^\omega,\,\ldots\,,</math>}}
Usando esta serie de [[transfinitos|números transfinitos]], Cantor pudo estudiar los conceptos de [[número cardinal (teoría de conjuntos)|número cardinal]]
En efecto, un número natural puede representar no sólo una cantidad de elementos, sino una posición dentro de una serie ordenada: 1.º, 2.º, 3.º, ... Cantor descubrió que estos números transfinitos son en realidad números ordinales, que representan la posición de un elemento dentro de un conjunto [[buen orden|bien ordenado]]; y no sólo eso, sino que además clasifican ''todos los posibles'' conjuntos bien ordenados.
Línea 66:
\end{align}</math>
}}
La construcción estándar de los [[números naturales]] en teoría de conjuntos asegura que estos son ordinales. En esta construcción se define el cero como el conjunto vacío 0
De la definición dada por Von Neumann puede probarse:
Línea 76:
#Esta colección, denotada '''On''', [[Paradoja de Burali-Forti|no es un conjunto]].
#Todo conjunto bien ordenado es isomorfo bajo orden a un único ordinal.
#El conjunto de los números naturales ''
Al (único) ordinal isomorfo a un conjunto bien ordenado ''A'' se le denota por {{overline|''A''}} ó ord(''A'').
=== Clasificación ===
Puede demostrarse que si ''<span class="texhtml">α</span>'' es un ordinal, también lo es ''<span class="texhtml">α</span>''
{{definición|1=
*Un ordinal '''sucesor''' ''<span class="texhtml">α</span>'' es un ordinal que es el siguiente de algún otro ordinal, ''<span class="texhtml">α</span>'' = ''<span class="texhtml">β</span>''
*Un ordinal '''límite''' ''
Por ejemplo, todos los números naturales mayores que cero, ''n'' = {0, 1, 2, ..., ''n''-1}, son ordinales sucesores. El ordinal de los números naturales ''
== Inducción transfinita ==
Línea 91:
Este argumento puede refinarse en el llamado '''principio de inducción transfinita''', separando en casos según el tipo de ordinal:
{{teorema|1=Dada una fórmula
*
*
*
entonces la fórmula es cierta para cualquier ordinal.
}}
donde ''
Una aplicación importante de este principio es la '''recursión transfinita''', que permite definir una [[función matemática|función]] sobre los ordinales, especificando la [[conjunto imagen|imagen]] de un ordinal a partir de las imágenes de sus predecesores:
{{teorema|1=Sean ''X'' un conjunto y ''G'' y ''H'' funciones definidas sobre los conjuntos. Entonces existe una única función definida sobre los ordinales ''F'', tal que:
*''F''(0) = ''X''
*''F''(''<span class="texhtml">α</span>''
*''F''(''
}}
donde ''F''<nowiki>|</nowiki><sub>''
== Aritmética ordinal ==
Línea 115:
*[[Teoría del orden]]
== Referencias ==
{{listaref}}
*{{cita libro|apellidos=Cantor|nombre=Georg|título=Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Escritos y correspondencia selecta|enlaceautor=Georg Cantor|año=2006|año-original=1872-1899|editorial=Crítica|isbn=84-8432-695-0|otros=Edición de José Ferreirós}}
| |||