Diferencia entre revisiones de «Espacio compacto»

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{{ecuación|1=<math>\bigcup_{i\in I}O_i\supseteq A</math>}}
}}
Dado un cubrimiento ''C'' de un conjunto ''A'', un '''subcubrimiento''' ''D'' es una subfamilia de ''C'', ''D'' ⊆ ''C'' que sigue siendo un cubrimiento de ''A'' —esto—es esdecir, una subcolección de conjuntos de ''C'' que aún cubre a ''A''—.
 
La definición de compacidad es entonces:
{{definición|1=Un [[espacio topológico]] ''X'' se dice '''compacto''' si, dado un cubrimiento abierto de ''X'' cualquiera, existe un subcubrimiento [[finito]] del mismo.}}
 
'''EjemploEjemplos.'''
*El conjunto ''K'' = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 0} ⊆ '''R''' con la topología heredada de la usualestándar de '''R''' es compacto. En efecto, dadoDado un [[entorno (topología)|entorno]] de 0, este incluye a todos los 1/''n'' salvo un número finito —ya—puesto que la sucesión {1/''n''}<sub>''n'' ∈ '''N'''</sub> [[convergencia (matemáticas)|converge]] a 0—. AsíPor tanto, dado un cubrimiento abierto de ''K'', tomando un abierto ''O'' que contenga a 0, y un abierto que contenga cada punto 1/''n'' no contenido en ''O'', esta subcolección finita cubre a ''K''.
*El [[intervalo abierto]] (0, 1) ⊆ '''R''' no es compacto (con la topología usual heredada de '''R'''). En efecto, laLa familia { (0, 1 − 1/''n'') }<sub>''n'' > 1</sub> es un cubrimiento abierto del intervalo., Sin embargo,pero dada cualquier subfamilia finita, existe un intervalo (0, 1 − 1/''k'') en ella que contiene a los demás abiertos —buscando elaquel con ''k'' mínimo—,. luegoComo dicha1 subfamilia− 1/''p'' no cubreestá en (0, 1 − 1/''k'') porsi entero''p'' > ''k'', ninguna subfamilia finita cubre (0, 1).
 
=== Caracterizaciones equivalentes ===
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