Diferencia entre revisiones de «Base canónica»
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{{referencias}}; {{cita libro}} |
Véase el artículo Vector; http://mathworld.wolfram.com/Vector.html , http://www.physicsclassroom.com/Class/vectors/u3l1a.cfm , http://www.mathwords.com/v/vector.htm |
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La base canónica facilita una interpretación intuitiva del sistema de coordenadas característico de un sistema cartesiano, de tal suerte, que para posicionar un punto en la recta, el plano o el espacio, las coordenadas nos informan de la distancia real en unidades, así facilita la lectura de posiciones y representación métrica en el entorno del espacio vectorial y con ello, sus aplicaciones directas a la [[geometría]] y a la [[física]], entre otras importantes ciencias puras y aplicadas.
== El subespacio vectorial de las rectas afínes ==
Una [[recta]] (la llamamos <span style="vertical-align:16%;"> <math>\overline {XX'} \;</math>)</span> está formada por un entramado [[infinito]] de [[punto]]s, si asociamos un [[vector director]]<span style="vertical-align:8%;"> <math> \mathbf i </math></span> a dicha recta. Cualquier vector contenido en <span style="vertical-align:16%;"> <math>\overline {XX'} \;</math></span> tendrá la forma:
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* Módulo de <span style="vertical-align:8%;"> <math> \mathbf v \Rightarrow ||\overrightarrow v\| = \lambda </math>
* Dirección: Otorgado por el escalar λ y en función del signo que tenga, y el vector <span style="vertical-align:8%;"><math> \mathbf i </math> </span>, al ser director de la recta XX', tiene la misma dirección que dicha recta, en caso de vector libre, paralelo a dicha recta.
λ
λ
Por otro lado, es inevitable la existencia del vector <span style="vertical-align:8%;"><math> \mathbf 0 </math></span>, cuando λ = 0, el [[vector nulo]] es un vector especial ya que carece de módulo, en consecuencia, su dirección
▲ λ < 0 <math>\Rightarrow</math> <math> \mathbf v = \lambda\cdot \mathbf i </math> < 0 y su sentido es hacia la izquierda de la recta: X'
▲Por otro lado, es inevitable la existencia del vector <span style="vertical-align:8%;"><math> \mathbf 0 </math></span>, cuando λ = 0, el [[vector nulo]] es un vector especial ya que carece de módulo, en consecuencia, su dirección y su sentido podría ser cualquiera, es una anomalía algebráica necesaria para fundamentar la estructura, ya que es consecuencia inmediata de la existencia del número [[cero]] proveniente del cuerpo de escalares.
Esta discusión es válida para cualquiera de los otros ejes coordenados <span style="vertical-align:16%;"> <math>\overline {YY'} \;</math> <span style="vertical-align:-16%;"> y </span> <math>\overline {ZZ'} \;</math>
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La suma directa de los subespacios de las rectas afines X e Y generan el subespacio vectorial afín para el plano XY, considerado espacio vectorial del plano afín <span style="vertical-align:8%;"><math> \mathbb V^2(\mathbb R) </math></span> o sencillamente <span style="vertical-align:20%;"><math>\mathbb V^2</math></span>.
Siendo la dimensión de este espacio 2 (largo x ancho)
dim <math>({V_x} \oplus {V_y} )</math> = 2 .
Línea 147 ⟶ 145:
<span style="vertical-align:8%;"><math>\mathbf {u}</math> = λ <span style="vertical-align:12%;"> . <math>\mathbf {i}</math></span> = λ (1, 0) = (λ, 0)
El vector unitario
=== Eje de ordenadas ===
Línea 160 ⟶ 152:
<span style="vertical-align:8%;"><math>\mathbf {v}</math> = μ <span style="vertical-align:6%;"> . <math>\mathbf {j}</math></span> = μ (0, 1) = (0, μ)
El vector unitario
=== Eje de cotas ===
Línea 173 ⟶ 159:
Lógicamente, las coordenadas vienen referidas para <span style="vertical-align:8%;"> <math> \mathbf{V^3(\mathbb R)}</math></span> o sencillamente <span style="vertical-align:12%;"> <math> \mathbf{V^3}</math></span> (espacio vectorial euclídeo tridimensional).
El vector <math>\mathbf {k}</math> genera todos los vectores contenidos en dicha recta, tomando un escalar ν <span style="vertical-align:12%;"><math> \in \mathbb {R} </math>:
Línea 179 ⟶ 164:
<span style="vertical-align:8%;"><math>\mathbf {w}</math> = ν <span style="vertical-align:6%;"> . <math>\mathbf {k}</math></span> = ν (0, 0, 1) = (0, 0, ν)
El vector unitario
== Relación entre coordenadas de un vector y proyección sobre ejes coordenados afines ==
Línea 194 ⟶ 173:
De esta forma, es fácil comprender que los vectores componentes son en realidad proyecciones del vector <span style="vertical-align:8%;"><math>\mathbf {w}</math></span> respecto a los ejes cartesianos.
Para un vector cualquiera que esté en el plano afín XY, éste tendrá la siguiente forma:
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Y si resulta que el vector <math> \mathbf w_x</math> es α veces mayor que <span style="vertical-align:6%;"><math> \mathbf i</math></span> y el vector <math> \mathbf w_y</math> es β veces mayor que <span style="vertical-align:6%;"><math> \mathbf j</math></span> obtenemos que los vectores pueden ser expresados de esta manera:
<math> \mathbf w_x</math> = α <span style="vertical-align:6%;"> . <math> \mathbf i</math></span>
Línea 239 ⟶ 216:
La norma de los vectores proyectados corresponde a la distancia desde origen al punto de corte existente entre el punto final del vector y la recta coordenada correspondiente.
La base canónica además de generar el subespacio vectorial, le induce su métrica, quedando cada punto de dicho plano perfectamente ubicado gracias al sistema de coordenadas introducido.
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La base canónica del plano afín sólo requiere dos vectores al ser la dimensión de éste 2.
<span style="vertical-align:8%;"> <math> \mathcal {B} </math></span>= { i, j } = {i ( 1, 0 ) ; j ( 0, 1 )}
Línea 267 ⟶ 242:
El eje de cotas está situado perpendicularmente al plano XY y lo atraviesa por el punto cero u origen de coordenadas, cortando a los otros dos ejes. Es decir que:
<span style="vertical-align:16%;"><math> \overline \mathbb {XX'} </math> <math>\bigcap</math>
Línea 284 ⟶ 258:
[[Image:3D Vector.svg|right|thumb|500px|Cada vector '''a''' en tres dimensiones es una [[combinación lineal]] de los vectores que forman la base canónica '''i''', '''j''' y '''k'''.]]
Observando la figura, el sistema de coordenadas está formado por las rectas: <math>{\color{BlueViolet} \mbox {x (eje de abscisas)}}</math> , <math>{\color{Red} \mbox {y (eje de ordenadas)}}</math> y <math>{\color{PineGreen} \mbox {z (eje de cotas)}}</math>.
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