Diferencia entre revisiones de «Teoría espectral»
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Esta definición se aplica a espacios de Banach, pero también a otros tipos de espacios más generales, por ejemplo, [[los espacios vectoriales topológicos]].<ref Name=Wolff>{{Cita libro | título = Topological vector spaces | autor = Helmut H. Schaefer, Manfred PH Wolff | url = http://books.google.com/books?id=9kXY742pABoC&pg=PA36 | página = 36 | año = 1999 | isbn = 0-387-98726-6 | edición = 2 | editorial = Springer}}</ref><ref name= Zhelobenko>{{Cita libro | título = Principal structures and methods of representation theory | autor = Dmitrii Petrovich Zhelobenko | url = http://books.google.com/books?id=3TkmvZktjp8C&pg=PA24 | isbn = 0821837311 | editorial = American Mathematical Society |. año = 2006}} </ref> Por otro lado, los espacios de Banach incluyen a los [[espacio de Hilbert|espacios de Hilbert]], y es en esos espacios que se encuentra la mayor aplicación y los más ricos resultados de la teoría espectral<ref name=Lorch2>{{Cita libro | título ='' op. cit'' |. Autores: Edgar Raymond Lorch | año = 2003 | isbn = 0-7581-7156-0 | página = 57 | capítulo = Chapter III: Hilbert Space}}</ref> Con restricciones adecuadas, se puede decir mucho acerca de la estructura de los espectros de transformaciones en un espacio de Hilbert. En particular, para todo [[operador autoadjunto]], el espectro se encuentra en la [[línea real]] y (en general) es un [[descomposición de un espectro (análisis funcional)|combinación espectral]] de un [[espectro puntual]] de [[autovalor|valores propios]] discretos y de un [[descomposición de un espectro (análisis funcional)|espectro continuo]]<ref name=Lorch3>{{Cita libro | título ='' op. cit.'' | autores: Edgar Raymond Lorch | año = 2003 | isbn = 0-7581-7156-0 | Página = 106 y ss'''' | capítulo = Chapter V: The Structure of Self-Adjoint Transformations}}</ref>
== ¿Qué es la teoría espectral, en términos generales? ==
{{Principal | teorema espectral}}
{{Véase también | autovalores, autovectores y espacio propio}}
En [[análisis funcional]] y [[álgebra lineal]], el teorema espectral establece las condiciones bajo las cuales un operador puede ser expresado en forma simple como suma de operadores más simples. Como una presentación completamente rigurosa no es apropiada para este artículo, tomamos un enfoque que evita gran parte del rigor de un tratamiento formal con el objetivo de ser más comprensible para un no especialista.
Este tema es más fácil de describir mediante la introducción de la [[notación bra-ket]] de Dirac. <ref Name= Friedman>
{{Cita libro | title = Principles and Techniques of Applied Mathematics | author = Bernard Friedman | año = 1990 | editorial = Dover Publications | page = 26 | isbn = 0-486-66444-9 | Edition = reimpresión de 1956 Wiley}}</ref>
<ref name=Dirac>
{{Cita libro | title = The principles of quantum mechanics | author = PAM Dirac | edition = 4rth | isbn = 0-19-852011-5 | publisher = Oxford University Press | año = 1981 | página = 29'' ff'' | url = http://books.google.com/books?id=XehUpGiM6FIC&pg=PA29}}</ref> A modo de ejemplo, un operador lineal muy particular '' L'' puede ser escrito como [[producto diádico]]: <ref name=Audretsch>{{Cita libro | título = Entangled systems: new directions in quantum physics. | author = Jürgen Audretsch | page = 5 | url = http://books.google.com/books?id=8NxIgwAOU6IC&pg=PA5 | capítulo = "Capítulo 1.1.2: Linear operators on the Hilbert space" | isbn = 3-527-40684-0 | publisher = Wiley-VCH | año = 2007}}</ref> <ref name=Howland>{{Cita libro | título = Intermediate dynamics: a linear algebraic approach | Page = 69'' ff'' | autor = R. A. Howland | publisher = Birkhäuser | año = 2006 | isbn = 0-387-28059-6 | edición = 2}}</ref>
:<math> L = | k_1 \rangle \langle b_1 |, </math>
en términos del ''bra'' <math> \langle b_1 | </math> y del ''ket'' <math> | k_1 \rangle </math>. Una función <math>f</math> se describe por un ''ket'' como'' <math> | f \rangle </math>. La función <math>f(x)</math> definido en las coordenadas <math>(x_1, x_2, x_3, \dots)</math> se denota como:
:<math> f(x)=\langle x, f\rangle </math>
y la magnitud de <math>f</math> por:
:<math> ||f||^2 = \langle f, f\rangle =\int \langle f, x\rangle \langle x, f \rangle \, dx = \int f^*(x) f(x) \, dx </math>
donde la notación '*' denota la conjugación compleja. Este elección de [[producto escalar]] define un [[espacio prehilbertiano]] específico, lo que restringe la generalidad de los argumentos que siguen. <ref Name=Lorch2/>
El efecto de <math>L</math> sobre la función <math>f</math> se describe como:
:<math> L | f\rangle = | k_1 \rangle \langle b_1 | f \rangle </math>
expresando el resultado de que el efecto de <math>L</math> sobre <math>f</math> es producir una nueva función <math> | k_1 \rangle </math> multiplicado por el producto interno representado por <math>\langle b_1 | f \rangle </math>.
Un operador lineal <math>L</math> más general se puede espresar como:
:<math> L = \lambda_1 | e_1\rangle\langle f_1| + \lambda_2 | e_2\rangle \langle f_2| + \lambda_3 | e_3\rangle\langle f_3| + \dots , </math>
donde <math> \{ \, \lambda_i \, \}</math> son escalares, <math> \{ \, | e_i \rangle \, \} </math> forman una [[base (álgebra lineal)|base]] y <math> \{ \, \langle f_i | \, \} </math> forman una [[base dual]] del espacio. La relación entre la base y la base dual se describe, en parte, por:
:<math> \langle f_i | e_j \rangle = \delta_{ij} </math>
Aplicando tal formalismo, <math> \{ \, \lambda_i \, \}</math> son los [[autovalor|autovalores]] de <math>L</math> y las funciones <math> \{ \, | e_i \rangle \, \} </math> [[autofuncion|autofunciones]] de <math>L</math>. Los valores propios se encuentran en el '''espectro''' de <math>L</math>.<ref name= Friedman2>{{Cita libro | título = op. cit. | Author = Bernard Friedman | año = 1990 | página = 57 | = capítulo Chapter 2: Spectral theory of operators | |isbn=0-486-66444-9 |url=http://books.google.com/books?id=gnQeAQAAIAAJ&dq=intitle:applied+intitle:mathematics+inauthor:Friedman&cd=1}} </ref>
Algunas preguntas naturales son: ¿bajo qué circunstancias funciona este formalismo, y qué operadores <math>L</math> poseen una expansión en serie de otros operadores? ¿Puede cualquier función <math>f</math> expresarse en términos [[autofunción|funciones propias]] (forman una [[base de Schauder]]) y bajo qué circunstancias surge un espectro puntual o un espectro continuo? ¿Cómo los formalismos de espacios infinitodimensionales y espacios de dimensión finita son diferentes? ¿Realmente se diferencian? ¿Estas ideas pueden extenderse a una clase más amplia de espacios? Responder a estas preguntas es el cometido de la teoría espectral y requiere conocimientos considerables en [[análisis funcional]] y [[matriz (matemáticas) | álgebra matricial]].
== Notas ==
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