Diferencia entre revisiones de «Conjunto simplemente conexo»
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En [[topología]], se dice que un espacio topológico es '''simplemente conexo''' cuando es [[conexo por caminos]] y su [[Grupo fundamental|grupo fundamental de homotopía]] es el [[grupo trivial]]. De forma equivalente, un espacio topológico <math>X</math> es simplemente conexo si es conexo por caminos y toda aplicación continua <math>f:[0,1]\to X</math> que sea un lazo, es decir, que verifique <math>f(0)=f(1)=p</math> para algún punto <math>p\in X</math>, es contractible de forma continua a dicho punto mediante una [[homotopía]] <math>H:[0,1]\times [0,1] \to X</math> tal que <math>H(s,0)=f(s)</math> y <math>H(s,1)=p</math>. En un espacio simplemente conexo, entre todo par de puntos existe esencialmente un único camino en el sentido de que todos los caminos que los conectan son homotópos entre sí.
En el caso de los subconjuntos del plano cartesiano, se puede decir que un conjunto conexo y acotado es simplemente conexo si su complemento es conexo, es decir un conjunto es simplemente conexo si "no contiene agujeros".
La noción de conexión simple es crucial en la [[conjetura de Poincaré]].
== Ejemplos ==
Informalmente, un objeto es simplemente conexo si está formado por una sola pieza y no contiene agujeros que lo atraviesen.
[[Archivo:Torus cycles.png|thumb|center|Un [[Toro (matemáticas)|toro]] no es '''simplemente conexo'''. Ninguno de los dos lazos coloreados puede contraerse en un punto sin abandonar la superficie.]]▼
[[Image:Runge theorem.svg|right|thumb|Este espacio no es simplemente conexo. Aunque es conexo por caminos, tiene agujeros que lo atraviesan y por tanto su grupo fundamental no es trivial.]]
▲[[Archivo:Torus cycles.png|thumb|
* El espacio euclídeo <math>\mathbb{R}^n</math> es simplemente conexo.
* El espacio euclídeo sin el origen <math>\mathbb{R}^n-\{\mathbf{0}\}</math> es simplemente conexo si y sólo si <math>n>2</math>. Para <math>n=1, \mathbb{R}-\{0\}</math> no es conexo por caminos; para <math>n=2, \mathbb{R}^2-\{0\}</math> tiene un grupo fundamental isomorfo a <math>(\mathbb{Z},+)</math> que es diferente al grupo trivial.
* La esfera <math>n</math>-dimensional <math>S^n</math> es simplemente conexa si y sólo si <math>n\ge2</math>.
* El [[Toro (matemáticas)|toro]] es conexo por caminos, pero su grupo fundamental es isomorfo a <math>(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}, +)</math>. Por tanto, no es simplemente conexo.
* Todo subespacio convexo en <math>\mathbb{R}^n</math> es simplemente conexo.
* Todo [[espacio contractible]] es simplemente conexo. Lo opuesto no es cierto; por ejemplo, la esfera <math>S^2</math> es simplemente conexa pero no es contractible.
== Véase también ==
* [[Homotopía]]
* [[Grupo fundamental]]
* [[Espacio conexo por caminos]]
* [[Conjetura de Poincaré]]
* [[Espacio contractible]]
== Bibliografía ==
* {{cita libro | autor = Hatcher, Allen | título = Algebraic topology | edición = 2002 | editorial = Cambridge University Press | isbn = 0-521-79540-0 | url = http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html}}
<!--* Allen Hatcher. [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html Algebraic topology]. Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79540-0. {{en}}-->
==Enlaces externos==
* {{MathWorld|CurveOrientation|Curve Orientation}}
* {{MathWorld|SimplyConnected|SimplyConnected}}
[[Categoría:Topología]]
[[Categoría:Topología algebraica]]
[[de:Zusammenhängender Raum#Einfach zusammenhängend]]
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