Diferencia entre revisiones de «Conjunto simplemente conexo»
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[[Archivo:P1S2all.jpg|thumb|right|300px|La [[esfera]] <math>S^2</math> es '''simplemente conexa''' ya que es conexa por caminos y todo lazo puede contraerse continuamente sobre la superficie a un punto.]]
En [[topología]], se dice que un espacio topológico es '''simplemente conexo''' cuando es [[conexo por caminos]] y su [[Grupo fundamental|grupo fundamental de homotopía]] es el [[grupo trivial]]. De forma equivalente, un espacio topológico <math>X</math> es simplemente conexo si es conexo por caminos y toda aplicación continua <math>f:[0,1]\to X</math> que sea un lazo, es decir, que verifique <math>f(0)=f(1)=p</math> para algún punto <math>p\in X</math>, es contractible de forma continua a dicho punto mediante una [[homotopía]] <math>H:[0,1]\times [0,1] \to X</math> tal que <math>H(s,0)=f(s)</math> y <math>H(s,1)=p</math>. En un espacio simplemente conexo, entre todo par de puntos existe esencialmente un único camino en el sentido de que todos los caminos que los conectan son homotópos entre sí.
La noción de conexión simple es crucial en la [[conjetura de Poincaré]].
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* El espacio euclídeo <math>\mathbb{R}^n</math> es simplemente conexo.
* El espacio euclídeo sin el origen <math>\mathbb{R}^n-\{\mathbf{0}\}</math> es simplemente conexo si y sólo si <math>n>2</math>. Para <math>n=1, \mathbb{R}-\{0\}</math> no es conexo por caminos; para <math>n=2, \mathbb{R}^2-\{\mathbf{0}\}</math> tiene un grupo fundamental isomorfo a <math>(\mathbb{Z},+)</math> que es diferente al grupo trivial.
* La esfera <math>n</math>-dimensional <math>S^n</math> es simplemente conexa si y sólo si <math>n\ge2</math>.
* El [[Toro (matemáticas)|toro]] es conexo por caminos, pero su grupo fundamental es isomorfo a <math>(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}, +)</math>. Por tanto, no es simplemente conexo.
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==Enlaces externos==
* {{MathWorld|SimplyConnected|SimplyConnected}}
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