Diferencia entre revisiones de «Ecuación de movimiento»
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=== Ecuaciones de movimiento de partículas ===
El análogo de la primera ley de Newton en teoría de la teoría de la relatividad postula que cuando sobre las partículas no actúa ninguna fuerza estas se mueven a lo largo de las [[geodésica]]s del espacio-tiempo, es decir, sobre las líneas más "rectas" posibles o de curvatura mínima. Cuando sobre las partículas actúa alguna fuerza, la ecuación del movimiento en términos de [[tiempo propio]] de la partícula, los [[símbolos de Christoffel]] dependientes de la curvatura del espacio tiempo, y la [[fuerza]] total sobre la partícula viene dada por:<
<
:<math>
m \frac{\partial^2 x^k}{\partial \tau^2} + m\sum_{i,j=0}^3 \Gamma_{ij}^k \frac{\partial x^i}{\partial \tau} \frac{\partial x^j}{\partial \tau} = F^k
</math>
<
Para una partícula moviéndose a través de un espacio-tiempo plano (<math>\Gamma_{ij}^k = 0</math>), con velocidad pequeña respecto a la de la luz (<math>\tau \approx t</math>) la anterior ecuación se reduce a la segunda ley de Newton.
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Sin embargo, los campos físicos además de evolución temporal o variación en el tiempo, presentan variación en el espacio. Esa característica hace que los campos físicos se consideren informalmente como sistemas con un número infinito de grados de libertad. Las peculiaridades de los campos hacen que sus ecuaciones de "movimiento" o evolución temporal vengan dadas por [[ecuación en derivadas parciales|ecuaciones en derivadas parciales]] en lugar de ecuaciones diferenciales ordinarias.
El campo físico más importante en el contexto de la [[teoría de la Relatividad Especial]] es el [[campo electromagnético]], cuyas ecuaciones de evolución temporal vienen dadas por las [[ecuaciones de Maxwell]]. Estas ecuaciones pueden escribirse de diversas maneras y de diversas notaciones, aunque en el contexto de la teoría de la relatividad conviene escribirlas en forma explícitamente covariante en términos del tensor campo electromagnético <math>F^{\alpha\beta}</math>. En esa forma, las ecuaciones se reducen a dos ecuaciones de la forma (unidades cgs):<
<
:<math> {\partial F^{\alpha\beta} \over {\partial x^{\alpha}}} = {4 \pi \over c }J^{\beta} \qquad
{\partial F_{\alpha\beta} \over \partial x^\gamma} + {\partial F_{\gamma\alpha} \over \partial x^\beta} + {\partial F_{\beta\gamma} \over \partial x^\alpha} = \epsilon_{\mu\beta\gamma}g^{\alpha\mu}{\partial F^{\beta\gamma} \over \partial x^\alpha} = 0 </math>
<
Donde se ha usado el [[convenio de sumación de Einstein]], <math>J^\beta </math> son las componentes del [[cuadrivector]] [[densidad de corriente]]. En esas ecuaciones aparecen las coordendas <math>(x^0, x^1, x^2, x^3) = (ct, x, y, z)</math> (donde ''c'' es la velocidad de la luz, ''t'' el tiempo, y (''x,y,z'') son las coordenadas cartesianas convencionales del espacio tridimensional. Así la evolución en el tiempo del campo electromagnético, si nos fijamos en un punto concreto del espacio viene medida por las derivadas respecto a la coordenada ''x''<su>0</supo> = ''ct''.
En el contexto de la [[teoría general de la relatividad]] aparece un problema adicional. La propia geometría del espacio-tiempo viene representada por un [[campo tensorial]] llamado [[tensor métrico]]. El propio campo gravitatorio es una manifestación de que la geometría del espacio-tiempo no es plana o euclídea. El [[campo gravitatorio]] de hecho es proporcional a la [[curvatura del espacio-tiempo]]. Las ecuaciones de evolución vuelven a ser ecuaciones diferenciales en derivadas parciales:<
<
:<math>R_{\alpha\beta} - {g_{\alpha\beta} R \over 2} + \Lambda g_{\alpha\beta} = 8 \pi {G \over c^4} T_{\alpha\beta}</math>
:<math> R_{\alpha\beta} = {R^\rho}_{\alpha\rho\beta} = \partial_\rho\Gamma^\rho_{\beta\alpha}
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- \Gamma^\rho_{\beta\lambda}\Gamma^\lambda_{\rho\alpha}</math>
:<math>\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}=\frac{1}{2}g^{\gamma\mu} \left(\frac{\partial g_{\mu\alpha}}{\partial x^\beta} + \frac{\partial g_{\mu\beta}}{\partial x^\alpha} - \frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^\mu} \right)</math>
<
donde reaparecen los símbolos de Christoffel que aparecían en la ecuación del movimiento de las partículas. A diferencia de las ecuaciones del campo electromagnético, estas ecuaciones del campo gravitatorio o geometría del espacio-tiempo son ecuaciones no lineales debido a la presencia de términos que son el producto de dos Γ. Esto hace que las ecuaciones de Einstein del campo gravitatorio sean de difícil solución.
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