Diferencia entre revisiones de «Función definida a trozos»
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La palabra "A trozos" se usa para describir cualquier propiedad de una función definida a trozos que se cumple para cada trozo aunque podría no cumplirse para todo el dominio de f. Una función es '''diferenciable a trozos''' o '''continuamente diferenciable a trozos''' si cada trozo es diferenciable a lo largo del dominio. En [[Análisis Convexo]], la noción de la derivada puede ser reemplazada por la de [[subderivada]] para funciones definidas a trozos. Una función f definida a trozos puede estar representada por varias [[expresiones matemáticas]] (algebraicas y/o trascendentales) de cualquier tipo.
== Definición ==
Si ''A'' y ''B'' son dos conjuntos cualesquiera y ''f'' una función
{{Ecuación|<math>f : A \to B</math>}}
definida entre ellos. Supongamos que ''A'' puede representarse como una [[Unión de conjuntos|unión]] de [[conjuntos disjuntos]] ''A<sub>i</sub>''
{{Ecuación|<math>A = \bigcup_{i=1}^n A_i, \quad \mbox{ con } A_i \cap A_j = \emptyset \ \forall j \ne i</math>}}
y que, para cada uno de los ''A<sub>i</sub>'', existe una función ''f<sub>i</sub>''
{{Ecuación|<math>f_i : A_i \to B</math>}}
Entonces
{{Definición|''f'' es una función '''definida a trozos''' si <math>\forall x \in A_i \ f(x) = f_i(x), \quad 1 \leq i \leq n</math>.}}
En otras palabras, ''f'' es definida a trozos si su [[Correspondencia matemática|regla de asignación]] es diferente para al menos dos valores de la variable independiente.
== Notación e interpretación ==
[[Archivo:Absolute value.svg|thumb|200px|right|Gráfica de la función valor absoluto, ''y'' = <nowiki>|</nowiki>''x''<nowiki>|</nowiki>.]]
Las funciones definidas a trozos se expresan con una notación funcional común, donde el cuerpo de la función es una lista de expresiones matemáticas asociadas a
Por ejemplo, :<math>\mathrm{abs} : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}</math>
puede definirse así
: <math>
|x| \equiv \mathrm{abs}\,(x) =
\left \{
\begin{array}{rcl}
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</math>
En este caso, el dominio fue dividido en los conjuntos
Para todos los valores de ''x'' menores que cero, la primera expresión matemática (la función -''x'') es utilizada, lo que altera el signo del valor que asignamos a la variable independiente haciendo el resultado siempre positivo. Para todos los valores de ''x'' mayores o iguales que cero, la segunda expresión matemática (la función ''x'') es utilizada. ▼
{{Ecuación|<math>D_1 = \{x\in\mathbb{R}:x<0\}, \quad D_2 = \{x\in\mathbb{R}:x\geq0\}</math>}}
los cuales son disjuntos y cumplen
{{Ecuación|<math>D_1 \cup D_2 = \mathbb{R}</math>}}
▲Para todos los valores de ''x'' menores que cero, la primera expresión matemática
{|class="wikitable"
!style="width: 3em" | ''x''
!style="width: 3em" | ''abs''(''x'')
!
|-
|−3 ||3 ||−''x''
Línea 34 ⟶ 54:
|−0.1||0.1||−''x''
|-
|0 ||0 || ''x''
|-
|1/2 ||1/2|| ''x''
|-
|5 ||5 || ''x''
|-
|}
== Continuidad ==
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