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=== Función de Green ===
Una [[función de Green]] es una solución fundamental que también satisface una condición adecuada deen el contorno ''<math>S''<\math> de un volumen ''<math>V''<\math>. Por ejemplo, <math>G(x,y,z;x',y',z')\,</math> satisface
:<math>\begin{cases} \nabla \cdot \nabla G = -\delta(x-x',y-y',z-z') \quad \hbox{en} \quad V, \,\\
G = 0 \quad \hbox{si} \quad (x,y,z) \quad \hbox{en} \quad S. \,\end{cases}</math>
Ahora si ''<math>u''<\math> es cualquier solución de la ecuación de Poisson en ''<math>V''<\math>:
:<math> \nabla \cdot \nabla u = -f, \,</math>
y ''<math>u''<\math> toma valores de contorno ''<math>g''<\math> sobre ''<math>S''<\math>, entonces podemos aplicar la [[Identidades de Green|identidad de Green]], (una consecuencia del teorema de la divergencia) el cual satisface
:<math> \iiint_V \left[ G \, \nabla \cdot \nabla u - u \, \nabla \cdot \nabla G \right]\, dV = \iiint_V \nabla \cdot \left[ G \nabla u - u \nabla G \right]\, dV = \iint_S \left[ G u_n -u G_n \right] \, dS. \,</math>
Las notaciones ''u<submath>nu_n</sub\math>'' y ''G<sub>n</sub>'' se refieren a derivadas normales a ''<math>S''<\math>. En vista de que las condiciones satisfacen ''<math>u''<\math> y ''<math>G''<\math>, este resultado simplifica a
:<math> u(x',y',z') = \iiint_V G f \, dV + \iint_S G_n g \, dS. \,</math>
Así la función de Green describe la influencia en <math>\scriptstyle (x',y',z')\,</math> de ''f'' y ''g''. Para el caso del interior de una esfera de radio ''a'', la función de Green puede obtenerse por medio de la reflexión:<ref>Sommerfeld, 1949</ref> el punto de la fuente ''<math>P''<\math> a distancia ρ del centro de la esfera se refleja a lo largo de la línea radial al punto ''<math>P'''<\math> que es en una distancia
:<math> \rho' = \frac{a^2}{\rho}. \,</math>
Se observa que si ''<math>P''<\math> está dentro de la esfera, entonces ''<math>P'''<\math> estará fuera de la esfera. La función de Green está dada entonces por
:<math> \frac{1}{4 \pi R} - \frac{a}{4 \pi \rho R'}, \,</math>
donde ''<math>R''<\math> es la distancia al punto de la fuente ''<math>P''<\math> y ''<math>R' ''<\math> es la distancia al punto reflejado ''<math>P'''<\math>. Una consecuencia de esta expresión para la función de Green es la '''[[fórmula integral de Poisson]]'''. Sea ρ, θ, y φ las componentes de [[coordenadas esféricas]] del punto de la fuente ''<math>P''<\math>. Aquí θ es el ángulo con el eje vertical, la cual es contraria a la notación matemática estadounidense, pero cumple con el estándar europeo y la práctica de la física . Entonces la solución de la ecuación de Laplace equation dentro de la esfera está dado por
:<math> u(P) = \frac{1}{4\pi} a^3\left( 1 - \frac{\rho^2}{a^2} \right) \iint \frac{g(\theta',\varphi') \sin \varphi' \, d\theta' \, d\varphi'}{(a^2 + \rho^2 - 2 a \rho \cos \Theta)^{3/2} }, \,</math>
:<math> \cos \Theta = \cos \varphi \cos \varphi' + \sin\varphi \sin\varphi'\cos(\theta -\theta'). \,</math>
Una consecuencia simple de esta fórmula es que si ''<math>u''<\math> es una función armónica, enotncesentonces el valor de ''<math>u''<\math> en el dentro de la esfera es el valor medio de los valores sobre la esfera. Esta propiedad de valor medio implica inmediatamente que funciones armónicas no constantes no pueden tomar su valor máximo en un punto interior.
=== Electrostática ===
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