Diferencia entre revisiones de «Mecánica lagrangiana»

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=== Derivación a partir de las leyes de Newton ===
Considere una sola partícula con [[masa]] ''m'' y el vector de posición '''r'''. La [[fuerza]] aplicada, '''F''', si es una '''[[fuerza conservativa]]''' puede ser expresada como el [[gradiente]] de una función potencial escalar ''V''('''r''', ''t''):
{{Ecuación|<math>\mathbf{F} = - \nabla V</math>||left}}
tal fuerza es independiente de las terceras derivadas de '''r''' (o de derivadas de orden superior), por tanto la [[leyes de Newton|segunda ley de Newton]] forma un sistema de 3 ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Por lo tanto, el movimiento de la partícula se puede describir totalmente por 6 variables independientes, o ''grados de libertad''. Un sistema obvio de variables es {r<sub>j</sub>, r′<sub>j</sub>|j = 1, 2, 3}, las componentes cartesianas de '''r''' y sus derivadas temporales, en un instante dado del tiempo.
 
Más generalmente, podemos trabajar con un sistema de '''[[coordenadas generalizadas]]''' y de sus derivadas temporales, las '''velocidades generalizadas''': {''q''<sub>j</sub>, ''q''′<sub>j</sub>}. '''r''' está relacionado con las [[coordenadas generalizadas]] por cierta ''ecuación de transformación'':
{{Ecuación|<math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(q_1 , q_2 , q_3, t)</math>||left}}
Considere un desplazamiento arbitrario δ'''r''' de la partícula. El [[trabajo (física)|trabajo]] hecho por la fuerza aplicada ''F'' es δ''W'' = '''F''' · δ'''r'''. que usa la segunda ley de Newton, escribimos:
</math>
 
para ''cada'' coordenada generalizada δ''q''<sub>i</sub>. Podemos simplificar aún más esto observando que ''V'' es una función solamente de '''r''' y ''t'', y '''r''' es una función de las [[coordenadas generalizadas]] y ''t''. Por lo tanto, ''V'' es independiente de las velocidades generalizadas:
 
:<math>
</math>
 
Hay una ecuación de Lagrange para cada coordenada generalizada q<sub>i</sub>. Cuando q<sub>i</sub> = r<sub>i</sub> (es decir las [[coordenadas generalizadas]] son simplemente las [[coordenadas cartesianas]]), es inmediato comprobar que las ecuaciones de Lagrange se reducen a la segunda ley del Newton.
 
La derivación antedicha se puede generalizar a un sistema de ''N'' partículas. Habrá 6''N'' coordenadas generalizadas, relacionadas a las coordenadas de posición por 3''N'' ecuaciones de transformación. En cada una de las 3''N'' ecuaciones de Lagrange, ''T'' es la energía cinética total del sistema, y ''V'' la energía potencial total.
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