Diferencia entre revisiones de «Teorema de Lindemann–Weierstrass»
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El '''teorema de Lindemann–Weierstrass''' es un resultado muy útil para establecer la [[Número trascendente|trascendencia]] de un número. Afirma que si α<sub>1</sub>, α<sub>2</sub>, ...,α<sub>''n''</sub> son [[Número algebraico|números algebraicos]] linealmente independientes sobre el cuerpo de los números racionales <math>\Bbb{Q}</math>, entonces <math>e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2} \ldots, e^{\alpha_n}</math> son algebraicamente independientes sobre <math>\Bbb{Q}</math>; es decir, el grado de trascendencia de la extensión del cuerpo <math>\mathbb{Q}(e^{\alpha_1}, \ldots,e^{\alpha_n})</math> sobre <math>\Bbb{Q}</math> es ''n''.
Lindemann demostró en 1882 que ''e''<sup>α</sup> es trascendente para todo α algebraico no nulo, y de este modo estableció que [[Número π|π]] es transcendente. Weierstrass demostró la forma más general de este teorema en 1885.
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== Trascendencia de ''e'' y π ==
La [[Número trascendente|trascendencia]] de ''[[Número e|e]]'' y [[Número π|π]] se obtiene como corolario de este teorema.
Supongamos que α es un número algebraico no nulo; entonces {α} es un conjunto linealmente independiente sobre los racionales y por lo tanto {''e''<sup>α</sup>} es un conjunto algebraicamente independiente; en otras palabras, ''e''<sup>α</sup> es trascendente. En particular, ''e''<sup>1</
Probemos ahora que π es trascendente. Si π fuese algebraico, 2π''i'' también lo sería (porque 2''i'' es algebraico), y por tanto, según el teorema de Lindemann-Weierstrass
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