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Esbozo demostración de ortogonalidad |
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{{Taller de usuario}}
{{Teorema|Si
:<math>\mathcal{B} = \left\{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \right\}</math>
es un conjunto de vectores linealmente independientes, los vectores '''u'''<sub>1</sub>, ... '''u'''<sub>''k''</sub> definidos por
:<math>
\left\{ \begin{array}{rcll}
\mathbf{u}_1 &=& \mathbf{v}_1 & \\
\mathbf{u}_k &=& \mathbf{v}_k - \displaystyle \sum_{j = 1}^{k - 1} \operatorname{proy}_{\mathbf{u}_j}\left( \mathbf{v}_k \right) & \textrm{ para } \ k > 1
\end{array} \right.
</math>
son todos no nulos. Dicho de otra manera, para cada ''k'',
:<math>\left\langle \mathbf{u}_k, \mathbf{u}_k \right\rangle \ne 0.</math>
|título=Proposición 1}}
La prueba está en el [[Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt#Descripción del algoritmo de ortonormalización de Gram–Schmidt|artículo.]]
Haremos uso de la '''Proposición 1''' para probar la
{{Teorema|El conjunto
:<math>\mathcal{E} = \left\{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots, \mathbf{u}_k \right\}</math>
está constituido por vectores mutuamente ortogonales.
|título=Proposición 2}}
Por la '''Proposición 1''', sabemos que para todo ''k'' natural
:<math>\left\langle \mathbf{u}_k, \mathbf{u}_k \right\rangle \ne 0. </math>
Probar que los vectores de <math>\mathcal{E}</math> son mutuamente ortogonales equivale a demostrar que la siguiente proposición es verdadera
:<math>\forall m \ne n, \left\langle \mathbf{u}_m, \mathbf{u}_n \right\rangle = 0.</math>
Basta probar los casos en los que ''m'' < ''n'' por simetría
:<math>\left\langle \mathbf{u}_n, \mathbf{u}_m \right\rangle = \left\langle \mathbf{u}_m, \mathbf{u}_n \right\rangle = 0.</math>
Sea <math>P = \left\{ (m,n) \in \mathbb{N}^2 : m < n \Longrightarrow \left\langle \mathbf{u}_m, \mathbf{u}_n \right\rangle = 0 \right\}.</math>
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