Diferencia entre revisiones de «Forma cuadrática»

Si pensamos en la factorización <math>A = P \Delta P^{T} \,</math> con <math>P \in \Re^{n \times n}</math> una [[Matriz ortogonal|matriz ortogonal]] compuesta por [[Vector propio y valor propio|autovectores]] de <math>A \,</math> y <math>\Delta \in \Re^{n \times n} \,</math> una [[Matriz diagonal|matriz diagonal]] compuesta por los [[Vector propio y valor propio|autovalores]] de <math>A \,</math> en su diagonal, vemos que la forma cuadrática se reduce a:

Pero una de las propiedades fundamentales de las [[Matriz ortogonal|matrices ortogonales]] es que conservan el [[Producto interno|producto interno]], pues en particular <math>\|y\|^{2} = (y, y) = \left( P^{T}x, P^{T}x \right) = \left( P^{T}x \right)^{T} P^{T}x = x^{T}PP^{T}x = x^{T}x = \|x\|^{2}</math>. Entonces, finalmente tenemos que