Clausura de Kleene

En lógica matemática y en ciencias de la computación, la clausura de Kleene (también llamada estrella de Kleene o cierre estrella) es una operación unaria que se aplica sobre un conjunto de cadenas de caracteres o un conjunto de símbolos o caracteres (alfabeto), y representa el conjunto de las cadenas que se pueden formar tomando cualquier número de cadenas del conjunto inicial, posiblemente con repeticiones, y concatenándolas entre sí.

La aplicación de la clausura de Kleene a un conjunto V se denota como V*. Es muy usada en expresiones regulares y fue introducida en este contexto por Stephen Kleene (1909-1994) para caracterizar un cierto autómata.

Definición y notación

Dado

$V_{0}=\{\lambda \}\,$

se define recursivamente

$V_{i+1}=\{wv:w\in V_{i}{\mbox{ and }}v\in V\}\,$ donde $i\geq 0\,.$

Si $V$ es un lenguaje formal, entonces la $i$-ésima potencia de $V$ es la abreviatura de la concatenación de $V$ consigo mismo $i$ veces. Esto es, $V_{i}$ puede entenderse como el conjunto de todas las cadenas de longitud $i$, formado a partir de los símbolos en $V$.

La definición de Kleene estrella en $V$ es $V^{*}=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }V_{i}=\left\{\lambda \right\}\cup V_{1}\cup V_{2}\cup V_{3}\cup \ldots .$

Es decir, es la recopilación de todas los posibles cadenas de longitud finita generados a partir de los símbolos en $V$.

En algunos estudios de Lenguaje formal, usan Kleene plus que es una variación de la operación Kleene estrella. Kleene plus omite el término $V_{0}$ en la unión. En otras palabras, Kleene plus en $V$ es $V^{+}=\bigcup _{i\in \mathbb {N} ^{\star }}V_{i}=V_{1}\cup V_{2}\cup V_{3}\cup \ldots .$

Ejemplos

Ejemplo de clausura de Kleene aplicada a un carácter:

$\{a\}^{*}=\{\lambda ,a,aa,aaa,aaaa,aaaaa,aaaaaa,\dots \}$

Ejemplo de clausura de Kleene aplicada a un conjunto de cadenas:

$\{ab,c\}^{*}=\{\lambda ,ab,c,abab,abc,cab,cc,ababab,ababc,abcab,abcc,cabab,cabc,ccab,ccc,\dots \}$

Ejemplo de clausura de Kleene aplicada a un conjunto de caracteres:

$\{a,b,c\}^{*}=\{\lambda ,a,b,c,aa,ab,ac,ba,bb,bc,\dots \}$

Referencias

• John E. Hopcroft y Jeffrey D. Ullman. Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. 1a edición. Addison-Wesley Publishing Company, 1979.

• Datos: Q849775