Forma normal de Cantor

Se dice que un número está expresado en la forma normal de Cantor en base b si lo representamos como suma de potencias de la base b, pero representamos también cada uno de los exponentes como suma de potencias. Veamos un ejemplo concreto:

La expresión del número 266 en forma normal de Cantor en base 2 es la siguiente

$266=2^{8}+2^{3}+2=2^{2^{2+1}}+2^{2+1}+2$

Números ordinales

La forma normal de Cantor también se puede aplicar a números ordinales transfinitos, en particular cualquier ordinal (finito o infinito) $\alpha >0$ puede expresarse como una suma finita:​

$\alpha =\omega ^{\beta _{1}}\cdot k_{1}+\omega ^{\beta _{2}}\cdot k_{2}+\dots +\omega ^{\beta _{n}}\cdot k_{n}$

siendo $\omega$ el primer ordinal infinito, $n\geq 1$, $\alpha \geq \beta _{1}>\beta _{2}>\dots >\beta _{n}$ y $k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}$ números naturales diferentes de cero. Nótese que el orden la suma y la multiplicación son importantes ya que con ordinales infinitos puede darse el caso de que $\alpha +\beta \neq \beta +\alpha$ o $\alpha \cdot \beta \neq \beta \cdot \alpha$, por ejemplo:

$1+\omega =\omega <\omega +1,\qquad 2\cdot \omega =\omega <\omega \cdot 2=\omega +\omega$

Además en a fórmula puede darse el caso de $\alpha =\beta _{1}$, es decir:

$\alpha =\omega ^{\alpha }$

En particular, todos los números épsilon admiten una representación de esta forma.

Véase también

• Sucesión de Goodstein

Referencias

Bibliografía

• Tomáš Jech, Set Theory: The Third Millennium Edition, revised and expanded, 2006, Springer Science & Business Media, ISBN 3-540-44085-2. 1st ed. 1978; 2nd (corrected) ed. 1997

• Datos: Q5863903