Descomposición en fracciones simples

método para descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado
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El método de descomposición en fracciones simples consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.

CaracterísticasEditar

Para mayor claridad, sea:

 

donde:  . Para reducir la expresión a fracciones parciales se debe expresar la función   de la forma:

 
o
 

es decir, como el producto de factores lineales o cuadráticos.

CasosEditar

Se distinguen 4 casos:

Factores lineales distintosEditar

Donde ningún par de factores es idéntico.

 

Donde   son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Factores lineales repetidosEditar

Donde los pares de factores son idénticos.

 

Donde   son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Factores cuadráticos distintosEditar

Donde ningún par de factores es igual.

 

Donde   son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Factores cuadráticos repetidosEditar

 

Donde   son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Cómputo de las constantesEditar

Para hallar las constantes, en el caso de factores lineales distintos se puede utilizar la siguiente fórmula:

 

en donde  

Para los otros casos no existe una formulación específica. Sin embargo, estos se pueden resolver simplificando y formando un sistema de ecuaciones con cada una de las  , la resolución del sistema proporciona los valores de los  .

Ejemplo 1Editar

Sea   Se puede descomponer en  

Necesitamos encontrar los valores a y b

El primer paso es deshacernos del denominador, lo que nos lleva a:

 

Simplificando

 

El siguiente paso es asignar valores a x, para obtener un sistema de ecuaciones, y de este modo calcular los valores a y b.

Sin embargo, podemos hacer algunas simplificaciones asignado

 

Para el caso de a observamos que   nos facilita el proceso

 

Siendo el resultado, el siguiente

 

Ejemplo 2Editar

Sea  

Se puede descomponer de esta manera

 

multiplicando por  , tenemos ejemplo:

 

Simplificando

 

Procedemos a asignar valores a x, para formar un sistema de ecuaciones

 

Resolviendo el sistema de ecuaciones, tenemos finalmente

 

Ejemplo 3Editar

Tenemos   que se puede convertir en  

Multiplicamos por  

Tenemos  

Simplificando

 

Ahora podemos asignar valores a x

 

Resolviendo el sistema, resulta  

Y el problema se resuelve de esta manera

 

Enlaces externosEditar