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Frontera (topología)

frontera de un espacio topológico

Dado un espacio topológico y un subconjunto de , se define la frontera de como la intersección de la clausura de con la clausura del complemento de , y se denota por . En otras palabras:

Una definición equivalente para la frontera de un conjunto es la siguiente:

Donde: denota el interior de .

Informalmente, la frontera (también llamada borde) de un conjunto es el conjunto de aquellos puntos que pueden ver puntos tanto en como en su complemento. Es claro que la frontera de un conjunto siempre es un conjunto cerrado.

Índice

EjemplosEditar

Sea   el conjunto de los reales, con la topología usual, entonces:

  • Si  ,  .
  • Si  ,  .
  •  

En el plano ℝ2 la frontera del círculo   es la circunferencia de radio r y centro en H, con la topología usual.



En  :

  • La frontera de la bola   es la esfera de radio unidad y centro en x.

PropiedadesEditar

  • La frontera de un conjunto es cerrada.
  • La frontera de un conjunto es igual a la frontera de su complemento: ∂S = ∂(SC).

De lo que se deduce que:

  • p es un punto de la frontera de un conjunto si y solo si todo entorno de p contiene al menos un punto del conjunto y al menos un punto que no sea del conjunto.
  • Un conjunto es cerrado si y solo si contiene su frontera, y es abierto si y solo si es disjunto de su frontera.
  • El cierre de un conjunto es igual a la unión del conjunto con su frontera. S = S ∪ ∂S.
  • La frontera de un conjunto es vacía si y solo si el conjunto es abierto y cerrado a la vez.
  • En Rn, todo subconjunto cerrado es frontera de algún conjunto.

Fronteras y aplicaciones continuasEditar

Dado un conjunto abierto y acotado   y una aplicación continua   que es inyectiva sobre  . Entonces se cumple:

  •  
  •  
  •  

La prueba del teorema anterior puede darse en términos de topología elemental y es relativamente breve. Si además se cumple   y la función continua es inyectiva sobre el compacto   entonces las dos inclusiones anteriores se convierten en igualdades:

  •  
  •  

Véase tambiénEditar

  • Lagos de Wada. Ejemplo que muestra como n abiertos del plano pueden tener una frontera común.