Grado de extensión de un cuerpo

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En matemática, concretamente en teoría de cuerpos, el grado de extensión de un cuerpo es una medida aproximada del «tamaño» de la extensión. El concepto juega un papel importante en muchas partes de las matemáticas, incluyendo el álgebra y la teoría de números — de hecho, en cualquiera en la que los cuerpos aparezcan regularmente —.

Definición del grado de una extensiónEditar

Suponga que L:K es una extensión de cuerpos. Entonces L puede ser considerado como un espacio vectorial sobre K (el cuerpo de los escalares). Como todo espacio vectorial tiene base, podemos calcular la dimensión de   como espacio vectorial sobre  , denotado por  . Se denomina grado de la extensión   a la dimensión de   como  -espacio vectorial:  .

Teorema de transitividad del grado.Editar

Sea   una extensión de  , y sea   un subcuerpo de   que es a su vez extensión de  . Entonces se cumple que  .

Demostración
Sea   una base del  -espacio vectorial   (es decir, consideramos   como un espacio vectorial sobre el cuerpo  , y obtenemos una base) y   una base del  -espacio vectorial  . Sea   un elemento arbitrario. Existirá una única combinación lineal (que será finita, nosotros consideramos aquí que los coeficientes de la combinación lineal son eventualmente nulos) de tal manera que  , siendo cada  . De la misma forma, existirá una única combinación lineal (cuyos coeficientes serán eventualmente nulos) de tal manera que tenemos que para cada   es  , siendo cada  .

 .

Esto demuestra que   es un sistema generador del  -espacio vectorial  .

Supongamos ahora que tenemos una combinación lineal  . Como   es base del  -espacio vectorial   y   cualquiera que sea el  , tenemos que ha de ocurrir que en cada   sea  . Ahora bien, como   es base del  -espacio vectorial  , entonces ha de ser  , cualesquiera que sean el   y el  . Así pues,   es una familia libre del  -espacio vectorial  , con lo cual es una base de   como K-espacio vectorial, y su cardinal es  .

Extensiones algebraicas y trascendentesEditar

El grado de una extensión resulta muy útil para determinar si una extensión es algrebraica o trascendente.

  • Si una extensión L:K es trascendente, existirá al menos un   de manera que   sea un elemento trascendente sobre  . Así pues,  , luego  . Pero como   (por ser   trascendente sobre  ), y por otro lado   (con lo que  ) y  , resulta que  .

Concluimos que toda extensión trascendente tiene grado infinito, y que toda extensión de grado finito es algebraica. Ahora bien, puede ocurrir que una extensión de grado infinito sea algebraica.

  • Si  , será entonces  . Si tomamos un elemento   que sea algebraico sobre  , entronces existirá un polinomio mónico irreducible   de manera que  . Si  , entonces   es una base de  , con lo cual  .

Véase tambiénEditar

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