Gran triacontaedro rómbico

Gran triacontaedro rómbico
Tipo	poliedro, poliedro no convexo y estelaciones del triacontaedro rómbico
Dual	gran icosidodecaedro
Elementos
Vértices	32;
Aristas	60;
Caras	30
Más información
MathWorld	GreatRhombicTriacontahedron
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En geometría, el gran triacontaedro rómbico es un poliedro isotoxal, isoedral y no convexo. Es el dual del gran icosidodecaedro (U₅₄). Al igual que el triacontaedro rómbico convexo, tiene 30 caras rómbicas, 60 aristas y 32 vértices (también 20 en ejes de simetría triple y 12 en ejes de simetría quíntuple).^[1]

Proporciones editar

Forma de las caras

Se puede construir a partir del sólido convexo expandiendo las caras por el factor de $\varphi ^{3}\approx 4.236$ ; donde $\varphi \!$ es el número áureo.

Los rombos tienen dos ángulos de $\arccos({\frac {1}{5}}{\sqrt {5}})\approx 63.434\,948\,822\,92^{\circ }$ y dos de $\arccos(-{\frac {1}{5}}{\sqrt {5}})\approx 116.565\,051\,177\,08^{\circ }$ . Su ángulo diedro es igual a $\arccos(-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {5}})=72^{\circ }$ . Parte de cada rombo se encuentra dentro de la figura, por lo que no son totalmente visibles en los modelos sólidos. La relación entre las longitudes de la diagonal larga y corta de los rombos es igual a la proporción áurea $\varphi$ .

Poliedros relacionados editar

Este sólido es al compuesto de gran dodecaedro estrellado y gran icosaedro lo que el correspondiente sólido convexo es al compuesto de dodecaedro e icosaedro. Las aristas que se cruzan en el politopo compuesto son las diagonales de los rombos.

En el centro de este compuesto se puede ver lo que se asemeja a un triacontaedro rómbico "excavado" (compárese con el dodecaedro excavado y con el icosaedro excavado). El resto del poliedro se parece sorprendentemente a un hexecontaedro rómbico.

Triacontaedro convexo, mediano y gran rómbico a la derecha (mostrado con simetría tetraédrica) y los politopos compuestos correspondientes de sólidos regulares a la izquierda	Las longitudes diagonales de las caras de los tres triacontaedros rómbicos son potencias de $\varphi$
	Proyecciones ortográficas según ejes de simetría de 2, 3 y 5 lóbulos