I de Moran

En estadística, la I de Moran es una medida de autocorrelación espacial desarrollada por Patrick Alfred Pierce Moran.​​ La autocorrelación espacial se caracteriza por la correlación de una señal entre otras regiones en el espacio. La autocorrelación espacial es más compleja que una dimensión de autocorrelación debido a que la correlación espacial es multi-dimensionales (es decir, 2 o 3 dimensiones del espacio) y multi-direccional.

Los cuadrados blancos y negros están perfectamente dispersos, por lo que el I de Moran sería -1. Si los cuadrados blancos se apilan a la mitad del tablero y los cuadrados negros al otro, el I de Moran estaría cerca de +1. Una disposición aleatoria de colores cuadrados daría a I de Moran un valor que es cercano a 0.

Definición

La I de Moran se define:

$I={\frac {N}{\sum _{i}\sum _{j}w_{ij}}}{\frac {\sum _{i}\sum _{j}w_{ij}(X_{i}-{\bar {X}})(X_{j}-{\bar {X}})}{\sum _{i}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}$

donde $N$ es el número de unidades espaciales indexados por $i$ y $j$; $X$ es la variable de interés; ${\bar {X}}$ es la media de $X$; y $w_{ij}$ es un elemento de una matriz de pesos espaciales.

El valor esperado de la I de Moran bajo la hipótesis nula de no autocorrelación espacial es

$E(I)={\frac {-1}{N-1}}$

Su varianza es igual

$\operatorname {Var} (I)={\frac {NS_{4}-S_{3}S_{5}}{(N-1)(N-2)(N-3)(\sum _{i}\sum _{j}w_{ij})^{2}}}$

donde

$S_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j}(w_{ij}+w_{ji})^{2}$

$S_{2}={\frac {\sum _{i}(\sum _{j}w_{ij}+\sum _{j}w_{ji})^{2}}{1}}$

$S_{3}={\frac {N^{-1}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{(N^{-1}\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2})^{2}}}$

$S_{4}={\frac {(N^{2}-3N+3)S_{1}-NS_{2}+3(\sum _{i}\sum _{j}w_{ij})^{2}}{1}}$

$S_{5}=S_{1}-2NS_{1}+{\frac {6(\sum _{i}\sum _{j}w_{ij})^{2}}{1}}$

Los valores negativos (positivos) indican negativo (positivo) de autocorrelación espacial. Los valores oscilan entre -1 (indicando dispersión perfecta) a 1 (correlación perfecta). Un valor de cero indica un patrón espacial aleatoria. Para las pruebas de hipótesis estadísticas, los valores de Moran I pueden ser transformados a la Z-score en el que los valores superiores a 1,96 o menor que -1.96 indican autocorrelación espacial que es significativo al nivel del 5%.

I de Moran es inversamente proporcional a C de Geary, pero no es idéntica. De Moran I es una medida de autocorrelación espacial global, mientras que C de Geary es más sensible a la autocorrelación espacial local.

Usos

El I de Moran es ampliamente utilizado en los campos de geografía y ciencia de los CI. Algunos ejemplos incluyen:

• El análisis de las diferencias geográficas en las variables de salud.​

• Se ha utilizado para caracterizar el impacto de las concentraciones de litio en el agua pública en la salud mental.​

• También se ha utilizado recientemente en dialectología para medir la importancia de la variación del idioma regional.​

Referencias

• Datos: Q3150399