Inmanente (matemáticas)

En matemáticas, el inmanente de una matriz fue definido por Dudley E. Littlewood​ y Archibald Read Richardson como una generalización de los conceptos de determinante y permanente.​

Sea $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots )$ una partición de un entero $n$ y sea $\chi _{\lambda }$ el correspondiente carácter de la representación teorética irreducible del grupo simétrico $S_{n}$. El inmanente de una matriz $A=(a_{ij})$ de orden $n\times n$ asociado con el carácter $\chi _{\lambda }$ se define como la expresión

$\operatorname {Imm} _{\lambda }(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\chi _{\lambda }(\sigma )a_{1\sigma (1)}a_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}.$

Ejemplos

El determinante es un caso especial del inmanente, donde $\chi _{\lambda }$ es el carácter alternante $\operatorname {sgn}$, de S_n, definido por la paridad de una permutación.

El permanente es el caso donde $\chi _{\lambda }$ es el carácter trivial, que es idénticamente igual a 1.

Por ejemplo, para las matrices $3\times 3$, hay tres representaciones irreducibles de $S_{3}$, como se muestra en la tabla de caracteres:

$S_{3}$	$e$	$(1\ 2)$	$(1\ 2\ 3)$
$\chi _{1}$	1	1	1
$\chi _{2}$	1	−1	1
$\chi _{3}$	2	0	−1

Como se indicó anteriormente, $\chi _{1}$ produce el permanente y $\chi _{2}$ produce el determinante, pero $\chi _{3}$ produce la operación que aplica los valores de la siguiente manera:

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}\rightsquigarrow 2a_{11}a_{22}a_{33}-a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{32}$

Propiedades

El inmanente comparte varias propiedades con el determinante y el permanente. En particular, el inmanente es multilineal en las filas y columnas de la matriz; y el inmanente es invariante ante permutaciones simultáneas de las filas o columnas por el mismo elemento del grupo simétrico.

Littlewood y Richardson estudiaron la relación del inmanente con las funciones de Schur en la teoría de la representación del grupo simétrico.​

Las condiciones necesarias y suficientes para que el inmanente de una matriz de Gram sea $0$ vienen dadas por el teorema de Gamas.

Bibliografía

• D. E. Littlewood; A.R. Richardson (1934). «Group characters and algebras». Philosophical Transactions of the Royal Society A 233 (721–730): 99-124. doi:10.1098/rsta.1934.0015. 
• D. E. Littlewood (1950). The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups (2nd edición). Oxford Univ. Press (reprinted by AMS, 2006). p. 81. 

• Datos: Q15297666